三角
の変
理の
470
重要 例図 85 チェバの定理の逆・メネラウスの定理の逆
00000
(1) △ABCの辺BC上に頂点と異なる点D をとり, ∠ADB, ∠ADCの二等分
線が AB, AC と交わる点をそれぞれE, F とすると, AD, BF, CEは1点で
交わることを証明せよ。
AB: AR-5:43 38
VD, BC, DA との交点を,順に Q,R, S, Tとする。 2直線 QS, RT が点
平行四辺形ABCD 内の1点P を通り, 各辺に平行な直線を引き,辺AB,
で交わるとき 3点 0, A, Cは1つの直線上にあることを示せ。
指針 (1) △ADB において, ∠ADB の二等分線 DE に対し
P.465,466 基本事項 2,4
DA AE
DB EB
△ADC における ∠ADC の二等分線 DF についても同様に考え,チェバの定理の逆
を適用する。
(2)△PQS と直線OTR にメネラウスの定理を用いて
QRPT SO
=1
RP TS OQ
ここで,平行四辺形の性質から PT, TS, QR, PR を他の線分におき換えてメネラ
ウスの定理の逆を適用する。
(1) DE, DF は,それぞれ∠ADB,∠ADCの二等分線で | 内角の二等分線の定理
DA AE DC CF
(1)
A
3
解答
あるから
DB EB,
DA FA
ゆえに
AR AE BD CF
DA BD DC
=
10 EB DC FA
=11
E
F
DB DC DA
よって,チェバの定理の逆により,AD, BF, CE は1点
で交わる。
B D
C
31
(2)△PQS と直線 OTR について, メネラウスの定理によ (2)
トラウス QRPT SO
=1
EX-A9:9J
RP TS OQ
D
A
JA at
PT=AQ, TS=AB, QR=BC, PR=CS であるから
同外
BCAQ SO
-=1
CS ABIOQ
QABC SO
すなわち
=1
AB CS OQ
P
R
BS
C
よって, メネラウスの定理の逆により, 3点 0, A, CはQBSと3点 0, A, C
1つの直線上にある。
注目。