基本例題の方では、互いに素でない⇔素数を公約数にもつ、と書かれてあるのですが、Exercisesの方の問題では、公約数gが素数と書かれてありません。なぜなのか教えて欲しいです🙏

530 |基本例題 121 互いに素に関する証明問題 (2) 000 自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a + b と abは互いに素である。 ことを証明せよ。 p.525 基本事項 2 重要 121 a+b abの最大公約数が1となることを直接示そうとしても見通しが立たない。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。 →a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a+bとαbはある素数」を公約数 にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。 ただし,m, n は整数である。 mn が素数 』 の倍数であるとき,またはnはかの倍数である。 1 最大公約数が1を導く CHART 互いに素であることの証明 背理法 (間接証明法)の利用 a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a + b と αbは 解答ある素数を公約数にもつと仮定すると とnが互いに素で ない a+b=pk D, ab=pl ② と表される。 ただし, k, lは自然数である。 ...... mnが素数を 公約数にもつ ② から, α または は の倍数である。 α a=pmとなる自然数がある。 の倍数であるとき, = 1 このとき,①から,b=pk-a=pk-pm=p(k-m) となk-mは整数。 りもの倍数である。 (I+\)8=8+18=8+ (I+s)=( これはaとbが互いに素であることに矛盾している。(+0) Ict bがpの倍数であるときも,同様にしてαはの倍数であa=pk-b り,aとbが互いに素であることに矛盾する。 =pk-m') したがって, a+bとabは互いに素である。)=+ ( ' は整数) 参考 前ページの基本例題120 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は,整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個存在することを証明せよ。 [証明] 2以上の自然数とする。 +1は互いに素であるから, n=n (n+1) は異な る素因数を2個以上もつ。 同様にして, n=n(n+1)=ni(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 「この操作は無限に続けることができるから,素数は無限個存在する 素数が無限個存在す

【1】や【2】の最後の ーーーは整数であるから、n^2は３の倍数ではない。（①） は2枚目の写真のように、 よって、3の倍数ではない でもいいですか？ また①は3でくくったものは整数より、3(----)は3の倍数で、それと別に1が残っているから３の倍数ではない。 というこ... 続きを読む

98 00000 対偶を利用した証明 (1) 基本例題 56 整数 n の平方が3の倍数ならば,nは3の倍数であることを証明せよ。 指針n² が3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, ｢n² が3の倍数」 が扱いにくいの で面倒である。 そこで, 対偶を利用した (間接) 証明を考える。 対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを、どのような式で表すかがポイン トとなるが,これは次のように表す (検討 参照 )。 n=3k+1[3で割った余りが1], n=3k+2[3で割った余りが2] なお,命題を証明するのに,仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明は を直接証明法という。これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 解答 与えられた命題の対偶は 「nが3の倍数でないならば,n²は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, n=3k+1またはn=3k+2 と表される。 [1] n=3k+1のとき n²=(3k+1)^=9k²+6k+1 =3(3k²+2k)+1 3k²+2k は整数であるから,n²は3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき n²=(3k+2)^=9k²+12k+4 =3(3k²+4k+1)+1 3k²+4k+1は整数であるから, n²は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって, 与えられた命題も真である。 基本 55 0, 1) 2で割った余りが ① 直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) 検討 整数の表し方 整数nは次のように場合分けして表すことができる (kは整数)。 ① 2k, 2k+1 (個数、奇数 ② 3k, 3k+1, 3k+2 (3で割った余りが 0 1,2) ③ ph, pk+1, pk+2, ., pk+(p−1) (pで割った余りが 0, 1,2, ...... 詳しくは数学A で学習する。 3× (整数)+1の形の数は, 3で割った余りが1の数で､ 3の倍数ではない。 [¯¯¯

波線で引いたn2乗は3の倍数ではないってどこからくるのですか？

98 基本 例題 56 対偶を利用した証明(1) 整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。 指針nが3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, 「n² が3の倍数」 が扱いにくいの で面倒である。そこで, 対偶を利用した (間接)証明 を考える。 対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」ということを,どのような式で表すかがポイン n=3k+2[3で割った余りが2] トとなるが, これは次のように表す (検討 参照)。 n=3k+1[3で割った余りが1], なお、命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明 解答 CENER 与えられた命題の対偶は 「nが3の倍数でないならば, n2は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, n=3k+1またはn=3k+2 を直接証明法という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 と表される。 [1] n=3k+1のとき n²=(3k+1)=9k²+6k+1 =3(3k²+2k)+1 3k²+2k は整数であるから n²は3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき 基本55 ......... n²=(3k+2)^=9k²+12k +4 =3(3k²+4k+1)+1 ( 3k²+4k+1は整数であるから n²は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって、与えられた命題も真である。 ① 直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) 2 13× (整数)+1の形の数は 3で割った余りが1の数 3の倍数ではない。

命題 練習の(1)の問題の証明ってこれでもいいですか？(3枚目　　　

の形の 命題の対偶は 解答 「a, bがともに3の倍数でないならば, abは3の倍数でない」 である。 a,bがともに3の倍数でないとき、3で割ったときの余りはそ れぞれ1または2であるから, k, lを整数とすると a=3k+1 または a=3k+2 と表せる。 b=3l+1 または b=3l+2 [1] a=3k+1, b=3l+1 のとき ab=(3k+1)(3+1)=3 (3kl+k+1)+1 3kl+k+1は整数であるから, abは3の倍数でない。 [2] a=3k+1, b=3l+2のとき ab=(3k+1)(31+2)=3 (3kl+2k+1)+2 3kl+2k+1は整数であるから αbは3の倍数でない。 [3] α=3k+2, b=3l+1のとき ab=(3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+21)+2ことに不 3kl+k+2lは整数であるから, abは3の倍数でない。 [4] α=3k+2, b=3l+2 のとき ab=(3k+2)(3l+2)=3(3kl+2k+2l+1)+13 3kl+2k +21+1は整数であるから abは3の倍数でない。 [1]~[4] により, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 164 ...... 2 I α またはbは3の 倍数である」 の否定 は、「αは3の倍数 でないかつbは3の 倍数でない」 である。 α=3k±1,b=3/±1 とおいて進めること もできる。 3× (整数)+1の形 の数は、3で割った 余りが1の数で 3 の倍数ではない。 間接証明法を使う見極め方 検討 間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効かどうかは、 命題の結論から見極める とよい。 特に, 結論が次のような場合は, 間接証明法を検討するとよい。 ① ● または■｣ 「少なくとも1つは●」....･･ ｢かつ」 などの条件から出発できる ② 「●でない」, 「■」 「●である」 などの、 肯定的な条件から出発できる。 (90) 習 対偶を考えることにより、 次の命題を証明せよ。 ただし, a, b, cは整数とする。 50 (1) a²+b2+cが偶数ならば, a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である。 128 ~21 221

(2)の説明が分かりません、どうしてこれで証明が出来るんですか？

亜例題 直接証明しにくい問題は間接証明法で ピ=° に関する証明問題 nが3の倍数でないとき, nは整数んを用いて がともに3の倍数でないと仮定して, 矛盾を導く。 nが3の倍数でないとき, n'を3で割った余りを求めよ。 その際,(1)の結果を利用するために, 両辺をそれぞれ3で割ったときの余りにつ 特に,(2)のような「少なくとも1つ」の証明には間接証明法が有効である。 a, b は整数とする。 6, C, n a bのうち少なくとも1つは3の倍数であること を証明せよ。 SOLUTION CHART 対偶を証明する 2 背理法を利用する 基本 113 いて考える。 解答) n 3k+1 または 3k+2 別解(1) nが3 の倍 ないとき, kを整数 と表される。 ] n=3k+1 のとき パ=(3k+1)?=9k"+6k+1=3(3k°+2k)+1 てn=3k±1 と表さ このとき n=(3k±1) =3(3土2k)+1 [2] n=3k+2 のとき パ=(3k+2)?=9k?+12k+4=3(3k?+4k+1)+1 よって, n° を3で割った余りは1である。 ) a, bがともに3の倍数でないと仮定する。 このとき,(1) により,α", b° を3で割った余りはともに1で あるから, a°+6° を3で割った余りは 1+1=2 である。 (複) よって, nを3で 余りは1である。 *和の余りの性質 0 (b.407 参照) 一方, cが3の倍数のとき, c?も3の倍数であり, cが3の倍数でないとき, c'を3で割ると1余る。 よって, c?を3で割った余りは0または1である。 0,2は a'+b=c? であることに矛盾する。 ゆえに, a°+6°=c? ならば、a, bのうち少なくとも1つは 3の倍数である。 合ら+8とでに た余りが同じ とに矛盾。 S-

何故①、②は矛盾するのかがわからないです。 解説お願いします！

重要 例題119 等式α+6=c' に関する証明問題 指針>「少なくとも1つ」 の証明 では, 間接証明法(対偶を利用した証明, 背理法)が有効 cは整数とし、α'+b=c° とする。a, bのうち, 少なくとも1つは3の 6が13のに 数であることを証明せよ。 基本11 る。ここでは,背理法を利用した証明を考えてみよう。 「a. bのうち,少なくとも1つは 3の倍数 である」 の否定は, 「a, bは ともに3の倍数 でない」であるから, a=3m+1, 3m+2; b=3n+1, 3n+2(m, nは整数) と表される。 よって, a, bがともに3の倍数でないと仮定して, α'+6°=c°に矛盾することを導く。 さ CHART の倍数に関する証明なら, ●で割った余りで分類 解答 CF 4, bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき, a', 6°は ケ (3k+1)=3(3k2+2k)+1, (3k+2)°=3(3k°+4k+1)+1 のどちらかの式のkに適当な整数を代入すると, それぞれ表さ (a=3m+1, b=3n+2など の場合をまとめて計算。 ち 会 S十n ーn [1] [O の理由] =n I9) れる。 き(a=)+ 3°+2k, 3k?+4k+1 は整数であるから, 3の倍数でない数 a, 6の2乗を3で割った余りはともに1である。+ したがって, a'+6°を3で割った余りは2である。 一方,cが3の倍数のとき, c? は3で割り切れ, cが3の倍数でないとき, c'を3で割った余りは1である。 すなわち, c' を3で割った余りは0か1である。 0, 2 はa+6=cであることに矛盾する。 ゆえに, α'+6°=c? ならば, a, bのうち, 少なくとも1つは (在右辺)33の余りは0, 1と 3の倍数である。 おゅ (3K+1)+(3L+1) =3(K+L)+2 (K, Lは整数) の ▲(から。お+ の 1(左辺)33の余りは2 なっている。 注意 「平方数を3で割った余りは0か1である」(上の②) も, 覚えておくと便利である。 (平方数 とは,自然数の2乗になっている数のこと。)

どこが矛盾してますか？

基本 例題|13 互いに素に関する証明問題 (2) 自然数 a, bに対して,aとbが互いに素ならば, a+bと abは互いに素であるこ OOOO0 とを証明せよ。 p.476 基本事項 2 指針>a+bと ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 重要114 背理法(間接証明法)を利用する。→atbと abが互いに素でない。すなわち よんと ab はある素数かを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 お 次の素数の性質も利用する。ただし,m, nは整数である。 mn が素数pの倍数であるとき, mまたは nはかの倍数である。 1 最大公約数が1を導く 2 背理法 (間接証明法)の利用 CHART 互いに素であることの証明 解答 +bと ab が互いに素でない,すなわちa+bと abはある素 数かを公約数にもつと仮定すると a+b=pk …… 0, ab= pl …… 2(k, 1は自然数) mとnが互いに素でない →mとnが素数を公約 数にもつ ケ健 と表される。 のから, aまたはbはかの倍数である。 aがかの倍数であるとき, a=pm となる自然数 m がある。 このとき,①から b=pk-a=pkー pm=Dp(k-m)となり, bもかの倍数である。 『これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがかの倍数であるときも,同様にしてaはかの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+bと abは互いに素である。 k-m は整数。 4a=pk-b =が(k-m) (m'は整数)

ある素数p、としてますが合成数を公約数に持ってはダメなのですか？

基本 例題I13 互いに素に関する証明問題(2) |自然数 a, bに対して,aとbが互いに素ならば, a+bとabは互いに素であるこ 481 とを証明せよ。 あ p.476 基本事項 2 重要114 指針>a+bとab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。→a+bと abが互いに素でない,すなわち atbと abはある素数かを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。ただし, m, nは整数である。 4章 17 をmn が素数pの倍数であるとき, mまたはnはpの倍数である。 Opd 1 最大公約数が1を導く 2 背理法(間接証明法)の利用 CHART 互いに素であることの証明 よケ 音 解答 | る a+bと ab が互いに素でない,すなわちa+6と abはある素 数かを公約数にもつと仮定すると 合量a+6=pk … mとnが互いに素でない →mとnが素数を公約 数にもつ の, ab=pl …② (k, 1は自然数) と表される。 き お のから,aまたはbはかの倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pm となる自然数mがある。 このとき,① から b=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, bもかの倍数である。 これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがかの倍数であるときも,同様にしてaはpの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+bと abは互いに素である。 R-m は整数。 音数 Aa=pk-b | =が(R-m') でO 自 (m' は整数) まないる ()- ら、 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

119番の、(2)の解説中にある、 複合同順(2つ以上の複合が使われている時、複合は上から同じ順序に使う) は、証明するのに必ず必要ですか？ また、別証に記載されているのは、背理法ではないのならば、何と言う証明方法なのでしょう…？ よろしくおねがいします！

4 119' ヵを正の整数として次の命題を考える。 「2二22 が3 の倍数でない = (は3の倍数でない または ヵは 3の倍数である) この命題の対偶を述べよ。 この命題が備であることを示せ。 (広島市立大 <

間接証明法(対偶証明法や背理法など)は直接求めにくい時に使うって書いてるのですが、どうすれば それを使うのが分かるのですか？その見極めか方を教えてください🙇‍♂️