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例題 96
2次方程式の解の存在範囲(1)
2次方程式 x2(a-1)x+α+2=0 が次のような解をもつとき、
(1) 異なる2つの正の解
CHART & SOLUTION
(2) 正の解と負の解
2次方程式の解と0との大小グラフをイメージ
D, 軸, f (0) の符号に着目
方程式 f(x)=0の実数解は,y=f(x) のグラフとx軸の共有点のx座標で表される。
f(x)=x2-(a-1)x+α+2 とすると, y=f(x) のグラフは下に凸の放物線である。
(1)D>0, (軸の位置) > 0(0) 0
(2) f(0)<0
8
I
を満たすようなαの値の範囲を求める。 なお, (2) で D>0 を示す必要はない。
下に凸の放物線が負の値をとるとき, 必然的にx軸と異なる2点で交わる。
f(x)=x2-(a-1)x+α+2 とすると, y=f(x) のグラフは
軸はx=
解答
a-1
下に凸の放物線で, その軸は直線 x=- である。
2
f(0)
(1) 方程式 f(x)=0 が異なる2つの正の解をもつための条 (1) 軸
件は,y=f(x)のグラフがx軸の正の部分と, 異なる2点
で交わることである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとす
ると,次のことが同時に成り立つ。
[1] D>0 [2] 軸が x>0 の範囲にある
[3] f(0)>0
[1] D={-(4-1)}-4・1・(α+2)=α-64-7
=(a+1) (a-7)
0(S
D0 から (a+1)(4-7) > 0
ズーム
まず.
方程
の2
問題
すぐ
次
よって
a<-1,7<a
..①
[2]>0から
a>1....... ②
-1
[3] f(0)=a+2
f(0)>0 から
a+2>0
-2-1
よって
>-2
③
① ② ③ の共通範囲を求めて
(2) 方程式 f(x) = 0
a>7
