青チャート　ａと24の最小公倍数が240であるようなaが240となる部分が理解できません。 教えてください

基本 例題 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2) 479 00000 次の(A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし, la<b<c とする。 (A) a, b, c の最大公約数は6 (B) bとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144 aとbの最小公倍数は 240 (C) a 4章 17 [専修大] p.476 基本事項 3 基本 110 指針 前ページの基本例題110と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。 2つの自然数a,b の最大公約数を g,最小公倍数を1, a=ga', b=gb' とすると 1 a'と'は互いに素 2l=ga'b' 3ab=gl (A)から, a=6k, b=6l,c=6mとして扱うのは難しい(k,l, mが互いに素である,とは 仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に, (C) からαの値を求め, 最後に (A) を満たすものを 解とした方が進めやすい。 このとき,b=246′,c=24c' (b','は互いに素でB'<c) とおける。 これから6', c を求める。 最小公倍数について 246'c'=144 HO 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 解答 (B)の前半の条件から,b=246′,c=24c′ と表される。 ただし, 6', c'は互いに素な自然数でB'<c′ ① (B)の後半の条件から 246′'c'=144 すなわち b'c' = 6 gbc= これと ①を満たす 6', ' の組は (b', c')=(1, 6), (2, 3) ゆえに (b, c)=(24, 144), (48, 72) (A)からは2と3を素因数にもつ。 また,(C) において 240-24-3.5 [1]624=23) のとき, αと24の最小公倍数が240 であ るようなαは a=24.3.5 これは, a<bを満たさない。 [2] 6=48(23) のとき, aと48の最小公倍数が240 であ るようなαは a=2・3・5 ただし p = 1,2,3,4 <48 を満たすのはp=1の場合で,このとき 304872 の最大公約数は6, (A) を満たす。 以上から (a,b,c) = (30,48,72) a=30 b=246′,c=24c' 最大公約数は6=23 240-24-3.5 [1] 6=23.3 [2] b=24-3 これからαの因数を考え る。 自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし,

問題の解説についてです。質問は写真２枚目にあります。

例題112 n! に含まれる素因数の個数 00000 1から30までの自然数の積 30!=30·29·······・・2.1 をNとする。 Nを素因数 分解したとき、次の問いに答えよ。 素因数2の個数を求めよ。 ON を計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。 CHART & THINKING (2) 素因数の個数を求めよ。 解答 (1) 1から30までの自然数のうち n! = 1.2.3.....(n-1) n の素因数々の個数 1からnまでのんの倍数の倍数････の個数の合計 (1) 30 には、右の表に付いたの数だけ2が掛け合 わされる。つまり、30以下の自然数のうち、2の倍数, 22の倍数2の倍数 に含 の個数の合計が30! まれる素因数2の個数になる。 なお、以下の自然数のうち、αの倍数の個数は、 をαで割った商として求められる。 (3) 末尾に0が1個現れるのはどのようなときだろうか? 2の倍数の個数は, 30 を2で割った商で 15個 22の倍数の個数は 30 を2で割ったで 7個 3個 2の倍数の個数は 30 を2で割った商で 24の倍数の個数は 30 を2で割った商で 1個 よって, 素因数2の個数は 15+7+3+1=26(個) 2468 16 28 30 20 DO O ○○ 22 p.426 基本事項 3 23 2* O PEL O ... 22の倍数は素因数 2 を 2個もつが、2の倍数と して1個、2の倍数と して1個数えればよい。 206²

高校数学です！！ (2)が答えを見ても理解できません💦どなたか解説してくださいませんか？？

21 約数と倍数 61 次の問に答えよ。 (1) 756 整数になる最小の自然数nを求めよ｡ 3数 12,120, n の最大公約数が4, 最小公 倍数が600 となるような自然数nを求めよ｡ A

写真の質問に答えてください。

518 解答 看 検討 00000 基本例題 111 倍数の判定法 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき、□に入る数をすべて求めよ。 11の倍数については, 次の判定法が知られている。 「偶数桁目の数の和」 と 「奇数桁目の数の和」 の差が11の倍数 このことを,6桁の自然数Nについて証明せよ。 指針 (1) 例えば,8の倍数である 4376 は, 43764000+376=4・1000+ 8:47 と表される 1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が 8の倍数であるかどうかに注目する(ただし,000 の場合は0とみなす)。 (2) N=Ak+Bのとき, Nが4の倍数ならば,BはAの倍数 (文字は整数) Nを11k+Bの形で表したとき, Bが11の倍数であることから証明できそう。 解答 のように, 10の累乗数を11の倍数±1の形で表しながら, 変形していくとよい。 (1) 口に入る数をα (αは整数, 0≦a≦) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となる から 700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(α+1) 2 (a+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数。 よって α+1=4, 8 すなわち α = 3,7 3, 7 したがって、□に入る数は (2) N=10°a+10+10°c +10°d + 10e + f とすると N=(100001−1)a+(9999+1)+(1001-1)c (99+1)d+(11-1)e+f =11(9091a+9096+91c+9d+e) 青 +(b+d+f)-(a+c+e) よって, N11の倍数であるのは、偶数桁目の数の和 acte と, 奇数桁目の数の和b+d+fの差が11の倍 数のときである。 p.516 基本事項 706=8・88+2 例えば,987654122 は、 右の図において、(①+③)-②からい (987+122)-654=455=7×65 - ･987654122 は 7の倍数。 なお,この判定法は, 103+1=7×143, 10°-1=7×142857, 10°+1=7×142857143, ・であることを利用している。 ..…... 0≦a≦9のとき 1≤a+1≤10 1001=7・11・13 は記憶しておくとよい。 -a+¹-c+d-2+) を問題に合うように変形 した。 いったい 7の倍数の判定法 7の倍数については、次の判定法が知られている。 下の練習 111 (2) 参照。 一の位から左へ3桁ごとに区切り,左から奇数番目の区 画の和から、偶数番目の区画の和を引いた数の倍数 である。 451 987 654122 3桁ごとに区切ると 987654122 ① すか (2) 基本例題 40 63n が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 練習 (1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる。 ② 111 このような自然数で最大なものを求めよ。 (2)6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき、前の数と後の数の差が7 の倍数であるという。 このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。 112 素因数分解に関する問題 n² 196'441 (2) いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 √A" (m は偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから、 の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。 n² n³ 196' 441 6 を考える。 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 n³ P.516さ 63n (2) 6 mmは自然数)とおいて ゆえに V 40 これが有理数となるような最小の自然 n=2・5・7=70 習 $112 3².7n 2³.5 -=m(mは自然数)とおくと n² 22.32m² 32m² 72 196 2³.72 これが自然数となるのは, mが7の倍数のときであるか n³ Dっで よって 441 3 7n 2 V 2.5 (3) m=7k(kは自然数) とおくと n=2・3･7k... ① 1500 (1) 277m 2³.33.73k³ 32.72 0000 3m n n² n 10' 18' 45 3 条件 = 2³.3.7k³ 素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=3²-7 63-3-7, 40=2¹-5 X2-5-7 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のとき①よりが最小のとき、 n=42 nも最小となる。 ら ①k=1 を代入して 旦 2!!! 素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 って素数の問題は、2通りに素因数分解できれば、指数部分の比較によって方程 式を解き進めることができる。 なお, 1 を素数に含めると, 8=2=12'12.2° のように、 素因数分解の一意性が成り立たなくなるので, 1は素数から除外してある。 問題3･15"=405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 [解答 3m・15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34.5であるから3535 指数部分を比較して m+n=4, n=1 m=3, n=1 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 (2) 54000nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 21 25 =1/12.7=14/12 (有理数) となる。 4 ⑩ 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 0.5 ISD L2 p.535 EX 78 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 0.75 0.750 1011101001 10101(2) 224321(5) 317h-4l) 21h-121

写真の質問に答えてください。

516 18 約数と倍数,最大公約数と最小公倍数 CATE 基本事項 1 約数 倍数 き,bはaの 約数 であるといい, αは6の倍数であるという。 ② 倍数の判定法 2の倍数 5の倍数 3の倍数 ③ 素数と素因数分解 2つの整数α, bについて, ある整数kを用いて, a=bk と表されると 一の位が偶数 ( 0 2, 4, 6, 8 のいずれか) 一の位が05 のいずれか 4の倍数 9の倍数 各位の数の和が3の倍数 下2桁が4の倍数 各位の数の和が9の倍数 ① 2 以上の自然数のうち, 1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を素数とい い,素数でない数を合成数という。 1は素数でも合成数でもない。 ② 整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの 整数の 因数 という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の 形に表すことを素因数分解 するという。 4 約数の個数, 総和 自然数 N を素因数分解した結果がN=pager…………. であるとき, Nの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)...... ←基本例題 8 参照。 総和は (1+p+...+pª)(1+q+···+q°)(1+r+...+rº) ...... 解説 ■ 約数, 倍数 a=bk のときa=(-6) (-k) であるから, bがαの約数ならばーも αの約数である。 また, すべての整数は0の約数であり, 0 はすべて の整数の倍数である。 なお, 0 がある整数の約数となることはない。 ■倍数の判定法 [4の倍数の判定] 正の整数Nの下2桁をaとすると, 負でないある整 数kを用いて, N=100k+α=4・25k+α と表される。 よって、Nが4の倍数であるのは, αが4の倍数のときである。 [3の倍数 9の倍数の判定] 例えば, 3桁の正の整数Nを N = 100α+106+cとすると, N=(99+1)a+(9+1)6+c=9(11a+b)+(a+b+c) であるから, a+b+cが3の倍数であればNは3の倍数であり, a+b+cが9の倍 数であればNは9の倍数である。 4桁以上の場合についても同様。 ■素因数分解の一意性 合成数は, 1 とそれ自身以外の正の約数を用いて, いくつかの自然数 の積で表すことができる。 それらの自然数の中に合成数があれば,そ の合成数はまたいくつかの自然数の積に表すことができる。 このような操作を続けていくと,もとの合成数は, 素数だけの積にな る。 よって, 合成数は、 必ず素因数分解でき 注意 以後,約数や倍 整数の範囲 ( 0 や 数は, 負の数も含む) で考え る。 <0は0=60 と表さ れるから 60 の 約数であり, 06 の倍数である。 4の倍数の判定法は、 「下2桁が4の倍数 または 00」と示され ることもある。 本書 では, 00の表す数は 0 であるとみなして 4の倍数の中に含め ている。 例えば,210=6・35 と表すことができる が6=2・3.35=5･7 から 2102･3･5･7 to 110 約数と倍数 00000 aとbがともに3の倍数ならば, 7a4bも3の倍数であることを証明せよ。 は0でない整数とする。 P.516 基本事項 がともに整数であるようなαをすべて求めよ。 40 aが6の倍数で,かつbがαの倍数であるとき, αを6で表せ。 ■ 「αがもの倍数である」ことは, 「bがαの約数である」 ことと同じであり,このとき,整数kを用いて a=bk と表される。このことを利用して解いていく。 (2) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。 bが3の倍数であるから, 整数k, lを用いて a=3k, b=3l と表される。 a=bk Laは6の倍数 7a-46=7・3k-4・31=3(7k-4L) よって 7k-4lは整数であるから, 7a-46は3の倍数である。 (②2) 1/3が整数であるから,αは5の倍数である。 ゆえに,kを整数としてα=5kと表される。 よって 40 40 8 a 5k k 40 が整数となるのは, kが8の約数のときであるから a k=±1, ±2, ±4, ±8 したがって a=±5, ±10, ±20, ±40 と表される。 (3) αが6の倍数, bがαの倍数であるから 整数 k lを 用いて a=bk, b=al a=bk を b=al に代入し, 変形すると 60 であるから kl=1 k, lは整数であるから k=l=±1 したがって a =±b bαの数 b(kl-1)=0 整数の和差積は整数 である。 a=5k を代入。 517 負の約数も考える。 α=5kにの値を代入。 を消去する。 <k.lはともに1の約数で 110 (ア) a,bがともに4の倍数ならば、' +62は8の倍数である。 の倍数で 断ならば、cdはabの約数である。 (1) 次のことを証明せよ。 ただし, a,b,c,d は整数とする。 4 章 倍数の表し方に注意! だったら a=tbl= 数であるから, のように別の文字 (k, lなど) を用いて表さなければなっない 上の解答ので, lを用いずに, 例えば (1) で α=3k, b=2のように書いてはダメ! これではα=6となり, この場合しか証明したことにな なるのですか? 1989 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 と書く f 2432115) 214-191

11の倍数のCがなんでマイナスになるかわかんないです

227 倍数の判定法の証明と応用 (②2) 5桁の自然数 beccb が 33で割り切れるとき, b,cの値を求めよ。 (1) 6桁の自然数 12a45aが9の倍数のとき, α の値を求めよ。」 Action 倍数であることからの整数の決定は, 倍数の判定法を用いよ 解法の手順････ 1 倍数の判定法を用いる。 2文字のとり得る値の範囲を考える。 32の範囲で1を満たす値を求める。 (1) 6桁の自然数 12a45aが9の倍数のとき 1+2+α+4+5+α=2a+12 は9の倍数である。 0≦a≦より, 12≦2a+12 30 であるから 2a+12=18,27 (ア)2 +12 = 18 のとき a=3 となり,適する。 15 a= となり、不適。 2 →例題226 (イ)2 +12 = 27 のとき (ア)(イ)より、求めるαの値は a=3 ( 2 ) 5桁の自然数 beccb が 33で割り切れるとき, beccbは3の倍数であるから、小 物を b+c+c+c+b=26+3c は3の倍数である。 また, bcccbは11の倍数であるから b-c+c-c+b=26-cは11の倍数である。 1≤b≤9, 0≤ c ≤ 9 kb -7 ≤ 2b-c ≤ 18 ゆえに 26-c = 0,11 (ア)26-c = 0 を満たす整数の組(b, c) は (b, c) = (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) このうち,26+3cが3の倍数となるのは (b,c)=(3,6) (イ) 26-c = 11 を満たす整数の組(b,c) は (b, c) = (6, 1), (7, 3), (8, 5), (9, 7) このうち,26+3cが3の倍数となるのは (b, c) = (6, 1), (9, 7) (ア), (イ) より 求める整数の組(b, c) は (b, c) = (3, 6), (6, 1), (9, 7) Astibile αは0,1,2,3,･･,9の いずれかの整数である。 条件を満たす6桁の自然 数は 123453である。 bは3の倍数であること がわかる。 b,cは0, 1,2,3, ···, 9 のいずれかの数である。 またbcccbは5桁の自然 数であるから 6 = 0 7章 7 約数と倍数 条件を満たす5桁の数は 36663, 61116, 97779 である。 k 練習 227 (1) 5桁の自然数a123a が6の倍数となるとき, 整数αの値を求めよ。 (2) 6桁の自然数 51263c が12の倍数となるとき, 整数の組 (b, c) を求めよ。 問題2277桁の自然数abcacba が55で割り切れるという。このような7桁の自然数は いくつあるか。 33

青い線の部分がなぜ、こうなるのか分かりません。 解説お願いします！

倍数, 互いに素に関する証明 基 本 例題 108 (I) αは自然数とする。 α+5は4の倍数であり, a +3は6の倍数であると a +9は12の倍数であることを証明せよ。

(2) 指針の 素因数2の方が素因数5より多く含まれる⇒素因数5の個数に一致する この因果関係が分かりません。

例題115 素因数の個数 | 20!を計算した結果は, 2で何回割り切れるか。 25 を計算すると, 末尾には0が連続して何個並ぶか。 類法政大 ] 第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積1.2.3······ (n-1) n をnの階乗と nで表す。 (1) 1×2×3×･･････×20の中に素因数2が何個含まれるか, ということがポイント。 3220であるから 22 23 24の倍数の個数を考える。 (2) 25 に 10 が何個含まれるか,ということがわかればよい。ここで, 10=2×5 であるが, 25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。 したがって、末尾に並ぶ0の個数は,素因数5の個数に一致する。 基本 109 483 4章 17 416 数数 約数と倍数、最大公約 0.

5の2乗の倍数に100は含まれないんですか？

である. である。 ** よい。 自然数 ) =α が自然数で Gが自然数であ m-nも自然 の公約数は1の 自然数 もの公約数は である。 る. いに素｣ ることを示 であること 4233 ocus 練習 考え方 229 Check 229 素因数に関する問題 (1) 20! が3で割り切れるとき, kの最大値を求めよ。 ただしは 自然数. (2) 100! は一の位からいくつ0が連続する 整数か答えよ. TEREMTE (1) 20!20・19・18・17・16・・・・・・・・3･2･1 LORES であるから, 3k で割り切れるということは, 201は3を因数としていくつ含む か考えればよい. 3'=3,32=9,3327 より,3と32 について考える。 (2) 0 が続くということは, 因数に10を含むということである. 102･5 であるから, 因数2と5の個数について調べればよいが, 因数10にな るには2と5は同数となることに注意する (2と5のうち少ない方を調べれば よい.) BR$350 Et do 3d+ø? (1) 1から20までの自然数について 3の倍数は, 3,6,912 15,18 32の倍数は, 9, 18 であるから, 20! に含まれる因数3は, 6+2=8 (個) である. よって, 3°題意を満たす最大値であるから, 求めるんの最大値は, h=8d (2) 100! に含まれる因数10の個数は, 10 = 2.5 より, 2と5を因数としていくつ含むか調べればよい. さらに5を因数に含む数の方が2を因数に含む数 より少ないため,5について調べる. 1から100までの自然数について 5の倍数は, 約数と倍数 ** の6個 の2個 23個 3, 6, 9, 12, 15, 18 は3を因数として含み, さらに, 9 18 はもう 1つ3を因数としても 因数10の個数と求め る20の数は一致する. 100 までの数で , 2の倍数は50個 5,15,20, ., 95, 100 の20個である。 の3個 5の倍数は20個 5°=125 より 5と5² だけ調べればよい。 52の倍数は, 25,50,75 であるから 100! に含まれる因数5は, 20+3=23(個) であり、同じ数だけ因数2も含実際、2の倍数だけで まれている. も50個ある. よって、求める 0の個数は, ASHA 「n! が " で割り切れる」 は, n! はmを因数としていくつもつか 考える. (1) 10! が2" で割り切れるとき, kの最大値を求めよ。ただし、kは自然数, (2) 50! 一の位からいくつ0が連続する整数か答えよ. →p.4234 403 整数の性質

2で何回割り切れるか、なので2で割った商を調べるのはわかるんですが、なぜ2の二乗、2の３乗、2の4乗も考える必要があるんですか？

115 素因数の個数 基本 例題 115 (1) 20! を計算した結果は, 2で何回割り切れるか。 (2) 25! を計算すると, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。 [類 法政大 ] 13 第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積1・2・3···.... (n-1) n をnの階乗と ger+p'as (1) AT いい, n! で表す。 (1) 1×2×3×･･････×20の中に素因数2が何個含まれるか, ということがポイント。 25 32 > 20 であるから, 2, 22, 23 24の倍数の個数を考える。 (2) 25! に 10 が何個含まれるか, ということがわかればよい。 ここで, 10=2×5 であるが, 25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。 したがって, 末尾に並ぶ0の個数は, 素因数5 の個数に一致する。 CHART 末尾に連続して並ぶ 0の個数 素因数5の個数がポイント Sapon で 解答 (1) 20! が 2で割り切れる回数は, 20! を素因数分解したときの 素因数2の個数に一致する。 1から 20 までの自然数のうち, 2の倍数の個数は20を2で割った商 についていく 10 といわ 22の倍数の個数は, 20 を2で割った ったとき 商で 5 About to... 2° の倍数の個数は20を2で割った 商で SOBOTE 08 249 250 22: 23: 24: 基本109 2:00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 30121 素因数2は2の倍数だけが もつ。 483 ○･･･10個 〇･･･ 5個 2個 1個 ani 4章 2 2の倍数の個数は20を24で割った商で 注意 1からnまでの整数の うち の倍数の個数は,n 20<25 であるから,2"(n≧5の倍数はない。々で割った商に等しい(n. よって,素因数2の個数は、全部で 10+5+2+1=18(個) したがって 20! は2で18回割り切れる。 は自然数 25! を素因数 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 の