(1)の①②より、の後からの連立の計算があいません。連立の順番を教えてください

例題 1.63 空間の位置ベクトル (4) 平行六面体OADB-CEFG において, 辺BD を 1:3に内分する点をP 辺EF を1:3に内分する点をQとし, 平面 OPQ と直線 CD との交点をRとする. OA=d, OB=b, OC = とするとき, (1) OR をà, , を用いて表せ. (2) CR RD を求めよ. 考え方 点 R は直線 CD と 平面 OPQ の交点であるから 解答 Focus 練習 C1.63 * * * ・点Rは平面 OPQ上の点 ・点Rは直線 CD 上の点 という2つの観点から, 点 R の位置ベクトルを2通りに表す。 (1) 点 R は直線 CD 上の点であるから, k を実数として OR = OC+CROC+kCD I FL 1² =OC+k(OD-OC)=c+k(a+b-c) =ka+kb+(1-k)c また,点Rは平面 OPQ上の点でもあるから, s, tを 実数として B-1.P. OR=SOP+tOQ=s(a+b) + t ( a + ² b + c) =(+1)ã+(s+b+te (2) id=0.0 で a, 1. は同一平面上になく1 次独立であるから ①②より tc S k=+t. k=s+. 1-k=t これを解いて、 s = 1 2 = 14. 9' 9' よって, t= k= 9 _5→ 4→ C OR=a+b+ (2) (1)より CRCD="CDであるから. 位置ベクトルを2通りに表し、 係数を比較する 四面体OABCにおいて, 辺OAの中点を K, 辺CA を 2:1に内分する点をL, 辺BCを2:1に内分する点を M, 辺OB を t: (1-t) に内分する点をNとする. OA=4,OB=1, OC **** 点 R が直線 CD 上 あるための条件 R D C CR RD=5:4 P 0 点 R が平面 OPQ 上にあるための条件 とするとき!! A (1) KL. KM を . . cを用いて表せ.0 600 (2) KN=xKL+yKM を満たすx,yとtの値を求めよ. ➡p.C1-155 (21) K R 1 1-t る。 OA=d. (1) OPを Q Pa B (S) Ō 方 1辺の 12 (2) TOP M (2)で 贈答 (1)

(2)について教えてください。ここはAP＝KAFでは無いのでしょうか？そして、ここでからの意味がわかりません...もう少し詳しく教えて欲しいです。

例題 C1.61 空間の位置ベクトル (2) 四面体OABCの辺ABを1:2に内分する点をD, 線分 CD を 3:5 に内分する点をE,線分 OE を 1:3 に内分する点をFとし､直線AFが△OBCと交わる 点をPとする. OA=d. OB=1,OC=とするとき, (1) OF を 言 を用いて表せ. (2) OP a, を用いて表せ。 (3) AF: FP を求めよ. 考え方] (2) 点Pについての2つの条件をベクトルで考える. (i) 点Pは直線 AF 上にある 2a+b 解答 (1) OD= 30D+50C 8 b2a+b+5c 80 OE= 3.2a+6 3 8 +5c 343 よって OF-10-2a+6+50 (2) AF = OF - OA= 32 Ut 1 OP=306+ /6 (ii) 点Pは平面 OBC 上にある a= A =a+k•• +32 k =(1-15 k) a + =b+ 32 kc 16 32 ¥1,600であり, 00+80- MOS RIA 1-15k=0 つまり. k= 16 B 2a+b+5c -30a+b+5c 32 32 OP=OA+AP= OA + kAF (k は実数) -30a+b+5c HO -G F 5 E 3 ここで 同一 平面上にない. また、点Pは平面 OBC上の点であるから、OPは とこのみで表される. よって、この係数は0であるから, 16 15 より, B **** Moh-h Fl E C OF を求めるために まずOD, OEを求 める. A, F, P は一直線 上より, まずは直線 AF の方向ベクトル を求める. 20 C よって, -VO 16 (③3) (2) より AP=kAF-15AF であるから、 AF: FP = 15:1 10 C P CA する。 1:2に

(2)のOG＝のaを2OMに変えるのは何故ですか？そそまま計算してはダメなのでしょうか？

例題 (1) 四面体OABCの辺 OA, AB, OC の中点をそ OA=a, OB=b,OC=cとする。 れぞれ D,E,Fとし, △DEF の重心をG,直 線 OG と底面ABCとの交点をHとする。 「考え方」 > OG および OH を a,b,c を用いて表せ。 (2) 四面体OABCにおいて, △ABCの重心をG, 辺OAの中点をM, 平面 MBCと直線OG との 交点を N とする. ON を a,b,c を用いて表せ. また, ON: NG を求めよ. KL OL ATJACK 3 空間のベクトルの応用 C1.60 空間の位置ベクトル (1) 合 OG= 3点O,G,Hは一直線上より, @*), OH=k(²a + b + ①より, 点は平面ABC上の点より よって,k= -3/ (2) G は △ABC の重心より, a + b + c C + a a+b OD+OE+OF 2 2 2_2a+b+c....① 6 3+1S 3 よって、k=2より. 4 また、ON=2OG より CLIGJO 1) 点Hについての2つの条件をベクトルで考える。 (i) 点Hは直線OG 上にある (ii) 点Hは平面ABC 上にある (1) G は △DEF の重心より, = k 12/11/01/10/1 + 6 6 OH=20G=2a+b+c 2 c ) = ² ka + k b + b c 6 4 OH OG (kは実数) k→ A 591 20M+OB+OČ 303380 k k -=1 点Nは平面 MBC上の点より12/11/12/11/12/ 3k33 + k+- DIA D _a+b+c 4 ON=30G= 4 ON: NG=3:1 M A-- [44H 3 BO (0) (305) **** O MBCの重心」 B F △ABCの重心G OG=a+b+c 3 エ a + b + c (².2 + b ….① 3 OG= 3点O, N,Gは一直線上より, ON =kOG (kは実数) ①より ON=(OM+130B+/32OC)/21OM+30B+50C E は ABの中点より a+b OE 2 2a+16+1c C1-119 和が4 に着目すると, OG= = 4.2a+b+c 6 4 =401 OG OM, OB, OC で表す TAI-TAL(S) (E) OM, OB, OC の係 数の和が1 M 第4 TO

回答(1)の1行目から2行目に行く方法が分かりません教えてください。

例題 C1.58 空間の位置ベクトルと四面体の重心 Q& する. 線分DG1, BG2 の各々を 3:1に内分する点をそれぞれP, 四面体 ABCD について. △ABCの重心をするCDの重心をもっと DA Pas する. (1) 2点P,Qは一致することを示せ. (2) (1) で一致した点を G, △BCD の重心を G′ とするとき, 3点A,G, G′ は一直線上にあることを示せ . 考え方 (1) A(a), B(b),C(c), D (7) として, P, Qの位置ベクトルをそれぞれa,b,c で表し,それらが一致することを示す平(株) (2) AG, AG をそれぞれ a,b,c,d で表し, AG =kAG' となる実数んがあれば A. G, G′ は一直線上にある . 解答 OL (8) Ad, B (6) C(²) D. G. (g). Ga(g2). P(D), QG) とする。 (1) giat 42 Focus a+b+c より、 z_ª+³ª₁_¹ (à +3. ª+b+c)= ¹ (˜a + b + c + a) 3 3+1 4 Py より 同様に, q= 1 ss t よって, p=g より 2点P, Qは一致する. (2) G(g), G'(g)とする. +3.2 a+c+d — (6 + 3, ª + c + ª) — — (a + b + c + ā) = 1/(a (a+b+c+d) == 4 3+1 - -ã=1/(b+c+d-3a) AG=g-d=b -à=²(b +c+ã—3ā) AG=2AG (1 よって, 3点A, G, G′ は一直線上にある. (Gは各項点と対面の重心を結ぶ線分を3:1に内分 Plat する) AG=g_a=a+b+c+a 点の一致 notivstival 4 b+c+d 3 位置ベクトルの一致 注〉 四面体において,頂点と対面の重心を結ぶ4本の 線分は1点Gで交わる.このGを四面体の重心 動という 四面体の対辺の AC,BD の中点を結ぶ線分の中 点も重心G と一致する。 S+VS-XA 有ベクトル 小中 AB = b-a Thin 始点 G′ は△BCD の重心 △ABCの重心 a+b+c 3 ² 15tboil 四面体 ABCD の重心 a+b+c+d 例題 4 上に 「考え方 とすると、 重心をG GA+GB+GC+GD=1 解答

テストが近いので助けてください。 この問題を、どうしても写真のよう迷ってしまいます。どのように使い分けますか？ お願いしますー

A 空間の位置ベクトル】 4点A(n), B(L),C(²), D(d) を頂点とする四面体 ABCD において, 辺AB, BC の 中点をそれぞれL, M, 辺 CD を3:2に内分する点を Nとし, △LMN の重心をGとするとき, 次のベクトル をa,b,c, à を用いて表せ。 (1) AM *(2) AN *(3) MN (4) AG B D 3-1²²

なぜ同一平面上にあるとOR=sOP+tOQと表わせるのですか？

例題383 空間の位置ベクトル (4) 十公園 平行六面体OADB-CEFG において, 辺BD を 1:3に内分する点をP、辺EF を1:3に内分する点をQとし, 平面 OPQ と直線 CD との交点をRとする. OA=4,OB=1, OC 考え方 解 Focus 点Rは直線 CD と平面 OPQ の交点であるから, 点Rは直線 CD 上の点 ・点Rは平面 OPQ上の点 という2つの観点から, 点Rの位置ベクトルを2通りに表す. 3 空間のベクトルの応用 *** とするとき, C (1) OR を,も,こを用いて表せ。 (2) CRRD を求めよ. (1) 点Rは直線 CD 上の点であるから,kを実数として, OR OC+CR=OC+kCD 200816 Hity これを解いて, s=14.1-1/4,k=/g/g B-1-------3- £₂, OR=a+26+4 c よって, CRCD="CD よって, CR: RD=5:4 (2) (1)より, =OC+k(OD-OC)=c+k(a+b-c) =ka+kb+(1-k) c 1 V 400-1)-90 C また, 点Rは平面 OPQ 上の点でもあるから, s, tを実 数として, 同様にLOR=sOP+tOQ=s OR=SOP+tOQ=s(— a + b ) + t ( a + ² b + c) 4 = (2+1)ã+ (s+ + b + c +ta à,6,こは1次独立であるから①②より k=1+t, k=s+/, 1-k=t 6+tc......2 5 R - Del -10-16) 位置ベクトルを2通りに表し, 係数を比較する D 点Rが直線 CD 上 にあるための条件 R D ar P 0 点R が平面 OPQ 上 にあるための条件 1814²33139 675

ベクトルの｢点Pはどのような位置にあるか｣という問題は、位置ベクトルを考えて基準点をOにとるか、点Aにとるかで答えが変わりますか？

426 四面体 ABCD と点Pに対して,次の等式が成り立つとき, 点Pはそれぞ れどのような位置にあるか。 *(1) AP+4BP+3CP+8DP=0 (2) AP+2BP-7CP-3DP=0 ⑤ 空間の位置ベクトル 97

線部分はKN＝じゃ無くてKL,KMでも大丈夫ですよね？

Check 例題 389 空間の位置ベクトル (3) 外 四面体OABCの辺OA の中点をK, 辺OB を 29 に内分する点をし、 辺CAを3:1に内分する点をM, 辺BC を 3:2に内分する点をNとす。 る。 OA=4,OB=6, OC =c とするとき, (1) KL,KM, KN をそれぞれà, , を用いて表せ。 (2)4点K,L,M,N は同一平面上にあることを示せ 考え方 (2) 4点K,L,M,Nが同一平面上にあるかどうかは, KN=sKL+tKM を満たす実数 s, tがあるかどうかを調べればよい。 1/2 b 解答 (1) KL=OL-OK=116-12a=-1a+ 3a+c 1→ KM=OM-OK= KN-ON-OK= (2) KN=sKL+tKM 2|53|5 ・① とおく. KL=0, KM≠0, KL× KM より,これを満たす実 数 s, tがあれば, 4点K, L, M, N は同一平面上にあ る. SUT FOGYA (1)より, 2_2 = +36 + 2 - 1 + 15) + (1+1) C=S ad, 60 ¥0 で, a, 6, く1次独立であるから, 両辺の係数を比較して |-12--2/+1 s+ t ·2 = 4 26+36 5 -S 11 4 1/a=1 ä+¹ c a+ 1→> 1/² à = - 1² à + ²/² 6 + ²³ c -a 4 =(-1/2s+1 t) à + ² sb + — tc st 11 AL1- ...... は同一平面上にな TOM+OBFOC watu tar ③ ④ より 3₁ @*), s=1/1²₁ t= 12 S=. 5 5 M SKL 9 [LA B 3-12 KM KM ar これは②を満たす. よって,①を満たす s, tが存在するので、4点K,L,KN-12R+ M. N は同一平面上にある. MOLTANTA と表される.

（2）でなぜ同一表面上にないと aの係数を0と置けるのでしょうか

817.四面体 OABC において, △ABC の重心を G, 辺 OA を2:1に内分する点を m面体 OABCにおいて, △ABC の重心を G, 辺 OA を2:1に内分する点を 0直線 OG と平面 BCQの交点をP, 直線 AP と平面 OBCの交点をRとす る。OA=G, OB=5, OC=c とするとき, 次のベクトルをa, 5, こを使っ て表せ。 (1) OF ye RF

赤波線が引いてあるところの意味がわかりません。どうして係数の和が1になるのでしょうか。教えてください🙇‍♂️

686 第10章 空間 Check 例 題 387 空間の位置ベクトル(1) OA=G, OB=5, OC=c とする。 Ch D G。 A 線OG と底面 ABC との交点をHとする。 oG および OH を a, b, c を用いて表せ。 (2) 四面体 OABC において, △ABC の重心をG. 辺OAの中点を M, 平面 MBC と直線 OG との 交点をNとする.ON を a, b, c を用いて表せ、A また,ON:NG を求めよ。 4H E B 0 M IG B (1) 点Hについての2つの条件をベクトルで考える. (i)点Hは直線OG上にある TBC 錠 (i) 点Hは平面 ABC 上にある 考え方 (ロ-) 解答(1) Gは ADEF の重心より, △ABCの重心G a+ó,c 2_2a+6+2 a+6+c a OD+OE+OF」2 OG= OG= 3 Eは ABの中点より 2 3 6。 3 OH=kOG(kは実数) 3点0, G, Hは一直線上より, 0より。 OE= 2 し万 OH=k{ k- -C 6 6 2a+16+1c k 点Hは平面 ABC上の点より,0sk++=1 仕 和が4 (0-8) よって,k= k 代 9和 に着目すると, 4.2a+ō+c 6 6 3 OH=3oG=2a+6+¢ 2 3 より, (2) Gは△ABCの重心より, 食謝はOG= 6 4 BA平04 H ……①OGをOM, OE. OCで表す。 oG=a+5+_2+6+3 20M+OB+0C %D 3 3 3 3点0, N, Gは一直線上より, ON=kOG(kは実数) 0より, 2 ON=k-OM+-OB+-OC 3 oM 家 1 2k k - 0C OB+ 3 3 3 3 点Nは平面 MBC上の点より, 2 十十3 k,k 10% =1 OM, OE, OC の係 3 w よって, k=- 3 より, ON=3 0G=4+6+ 数の和が1 w 4 -OG: 4 また, ON=2OG より,ON:NG=3:1 A 0