実数αが存在するための条件がD≧0となるのはなぜですか？（解説の8行目）

222 第3章 図形と方程式 例題 118 直線の通過領域 放物線 y=x2 上の2点A(α, o2), B(β, β2) , β-α=1 を満たしな (千葉大改) がら動くとき、直線ABが通過する領域を図示せよ. 考え方 解答 B-a β-a TASH したがって,直線AB の方程式は, y-d²=(2a+1)(x-α) つまり, y=(2a+1)x-o-α について整理すると, °+(1-2x)a+(y-x) = 0 ..... ① ①をxについての2次方程式とみて、判別式をDとすると 実数 α が存在するための条件は,D≧0 Y₁y=x²+ 与えられた条件を利用して、 直線AB の方程式をx, y, α で表す. この方程式をaについての2次方程式とみて、実数が存在するための条件を考える B²-a²_(B+a) (B-a)=a+B=a+(a+1)=2a+1 D=(1-2x)-4(y-x) ABの通過領=4²-4y+1≧0 したがって, Focus y≤x²+- 4 よって、求める領域は右の図の斜線 部分で,境界線を含む. 4 y=-a²+ (2x −1)a+x=-(a_²x =_=1 )² + x ² + 1 1/2/ 2 点 (x,y) が直線AB の通過領域に含まれる ⇔点 (x,y) を通る直線ABが存在する ⇔点 (x, y) に対して、 ①の実数解 α が存在する よって-(α-2x-1) 20 であるから, y=x+1 ≦0 x² 注〉線分 AB が通過する領域を考えてみる。 **** β-α=1 より = a +1 直線ABが通過 する 変数だとそもそもAB存在しないので 注》次のように考えてもよい。 直線AB について, x を固定して, α について整理すると, 10=A+ AISAIT 線分AB はつねに放物線y=x2 よりも上側にあ る。 つまり、y≧x2 これと、解y=x2+1/12 より,求める領域は右 の図の斜線部分, 境界線を含む. ほうらく 放物線y=x²+-を直線ABの包絡線という 直線ABが存在 する 点A,B が存在す る ↓ 実数 α が存在する y=x² + 1 800 1 YA √y=x² 4B Thi 例

数学IIの通過領域です。この問題の［1］0<t<1の範囲にすべての解をもつ場合　と　［3］t=0またはt=1を解にもつ場合　を同時に求めてはいけないのはなぜなのでしょうか？［1］のときに、f(0)大なりイコール0, f(1)大なりイコール0として求めても答えは出るのではない... 続きを読む

重要 例題 128 図形の通過領域 (2) 直線y=2tx-t2+1 ① について, tが 0≦t≦1の範囲の値をとって変化す るとき,直線 ① が通過する領域を図示せよ。 指針 重要例題 127 と同様, 直線の通過領域を求める問題である。 重要例題127では、直線 y=2ax+α² のα がすべての実数値をとって変化するため, 実数解条件 (D≧0)だけで 解答 処理できたが,本問のtのとりうる値の範囲には制限 (0≦t≦1) があるため、判別式だ けで解くことはできない。 しかし、基本的な考え方は同じで, 見方を変えて考えればよい。 つまり,逆像法で 直線 ①点 (x,y) を通る ① を満たす実数t (0≦t≦1) が存在する と考える① について整理すると t²-2xt+y-1-0 よって、の2次方程式 ② が 0≦t≦1 を満たす解を 少なくとも1つ) もつような の条件を求める。 →f(t)=-2x+y-1 とし, 放物線z=f(t) が0≦t≦1の範囲でt軸と共有点をも つような条件を調べる(「チャート式基礎からの数学Ⅰ」のか.214 重要例題 130 なお,正像法による解答は,次ページの別解のようになる。 別解 の方法では,2次関 数の最大 最小の問題として進められる分, 考えやすいかもしれない。 ① を t について整理すると t2-2xt+y-1=0 ...... THE OCEA 直線①点 (x, y) を通るための条件は,t の2次方程 式 ② が 0≦t≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をも つことである。 Kata $348 すなわち,次の [1]~[3] のいずれかの場合である。 ②の判別式をDとし, f(t)=t2-2xt+y-1とする。 [1] 0<t<1の範囲にすべての解(*)をもつ場合 条件は D≥0, f(0)>0, ƒ(1)>0, 軸が0<t<1の範囲にある (−x)^-1・(y-1)≧0 D≧0から よって f(0) > 0 から y-1>0 f(1) > 0 から 1-2x+y-1>0 軸は直線 t = x であるから まとめると y≦x2+1 f(0)(1) <0から学ぶき (y-1)(y-2x) <0 または ゆえに y≦x2+1,y> 1, y>2x, 0<x<1 [2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0 または1<tの範 囲にもう1つの解をもつ場合 [y>1 ly <2x ゆえに y>1 よってy>2x 0<x<1 BEUR [y<1 重要 127 y>2x <t の2次方程式と考える。 [2] 下に凸の放物線。 軸は直線t=x (*) 異なる2つの解または 重解。 [1] 0 JUMSNE 414 ID=0/ または IC /D>0 +

⑵をファクシミリの原理(xを固定する)で解くのは厳しいのでしょうか？分数関数の微分後、手が止まってしまいました。

2 2次曲線と直線 *** 例題 74 直線の通過領域 m を実数とする. 直線ℓ: (m²-1)x+(m²+1)y=2m ...... ① について, (1) 直線ℓが点 (1, 2) を通るかどうか調べよ. (2) 実数 m がいろいろな値をとって変化するとき, 直線lが通過する 領域を図示せよ. [考え方 (1) (1,2) が直線ℓ上にあると仮定し、 実数が存在するかどうかを調べる . (2) 直線ℓが点P(X,Y) を通るとして, x=X,y=γ を代入して得られる m の方程 式が実数解をもつ条件を考える. 解答 (1) 直線ℓが点 (1, 2) を通るとして, ① に x=1, y=2 を代入すると, (m²−1)·1+(m²+1)·2=2mpr よって, 3m²-2m+1=0 ......2 mの2次方程式 ② の判別式をDとすると, D1 i=(-1)²-3•1=-2<0 より,②を満たす実(S) 4 数mは存在しない. よって、直線lは点 (1, 2) を通らない. (2) 直線lが点P(X, Y) を通るとして, ① に x=X, y=Y を代入すると, (m²-1).X+(m²+1).Y=2m よって, (X+Y)m²-2m+(-X+Y) = 0 mについて整理する. (i) X + Y≠ 0 のとき ③ mの2次方程式とみて、判別式をDとす は実数より、 ると, (0<d<D) 1=x√ 円 D² − (−1)²—(X+Y)(−X+Y)=X²− Y²+1≥0 ③が実数解をもつ条 件 よって, X2-Y'≧-1 |x-2≧-1 (ただし, Y≠ーX) y=x (ii) X+Y=0のときであ (yキーx) の表す領 域は,双曲線 ③ に Y=-X を代入 すると, -2m-2X=0 つまり, m=-X より, y=-x |x2-y2=-1の原点 を含む側である. た だし,境界線を含み, 直線y=-x は含ま 実数 m が存在する. (i), (ii)より,実数が変化 ない. するとき,直線lが通過する領域は, x²-y'≧-1 で 「あり、図示すると右上の図の斜線部分になる。 ただし, 境界線を含む. B. JA SA 2x-85A - P よく 第2章

解説の線を引いた部分の意味がわかりません． なぜ（xy）が 直線lの通過する領域に含まれる条件をもとめているのですか？

(58 Lv. ★★★ S 解答は96ページ 平面上の2点P(t, 0), Q(0, 1)に対して, Pを通り, PQに垂直な直線を 1とする。tが一1Sts1の範囲を動くとき, が通る領域を求めて, 平面 上に図示せよ。 (関西大)

垂直二等分線の式の求め方で、 中点と傾きがP Qと垂直であることを利用すれば解けるのですが、 写真のマーカー部の式の意味がわかりません。 教えてください🙇‍♂️

W 図形 と 式一53 ァ電上の点P(。。 0) と軸上の点 Q(⑩、2) について考える。点Pがヶ則 |23 』 上を動くとき,要分PQ の研直三等分線が通過する叙載を求め,図示せ 7807Fき (頻 13 福岡教育大] 較天直線の通過領域 直線① が点 (x。y) を通る と ① を満たす実数7 が存在する 賠還 北分PQの研二等分線の方程式は (なーがオア=ニデキー2/ 7について整理すると どー2xz上4ッー4=0 …… ① 線分 PQ の垂直二等分線が通過する領域は。① を満た す実数 が存在するような点 (*。ヵ) 全体である。 7 についての 2 次方程式 ① の判別式えの とすると の イー (の) 二@?三0三三4 の=0 より *ー4yッ二4=0 NH ッミオッ1 ゆえに, 求める領域は, 右の図の斜線部分。ただし, 境界線を含む。 較

数学で、直線の通過領域を求める際に 包絡線という言葉や、ファクシミリの原理といった言葉を聞くのですが、それぞれどのようなものですか？