［2］なぜ軸が1より大きいことをかくにんしているんですか？ ［3］ なぜg(x)に1を代入するんですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️

168 重要 例題 97 関数とその逆関数のグラフの共有点 00000 f(x)=x²-2x+k (x≧1) の逆関数をf-l(x) とする。 y=f(x) のグラフと y=f-l(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数の値の範囲を求めよ。 基本95 指針 逆関数 f(x) を求め, 方程式 f(x) =f'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても 解答 よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して 次のように考えてみよう。 共有点の座標を (x,y) とすると, y=f(x) かつy=f'(x) である。 ここで、性質y=f(x)x=f(y)に着目し、連立方程式 y=f(x). x=f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x,yの範囲にも注意。 共有点の座標を (x, y) とすると y=f(x) かつy=f-1(x) y=f-1(x) より x=f(y) であるから, 次の連立方程式を考える。 y=x²-2x+k (x≧1) ①, x=y2-2y+k(y≧ 1 ) ② ①-②から y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y) したがって (x-y)(x+y-1)=0 xctg≧2 x1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえに x=y よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち x2-3x+k=0 が x≧1の異なる2つの実数解をもつことである。 [参考] y=x2-2x+k とすると x²-2x+k-y=0 よってx=1±√12-(k-y) x≧1からx=√y-k+1+1 xとyを入れ替えて,逆関数 は-1(x)=√xk+1+1 A 逆関数f-1(x) の値域は, 関数 f(x) の定義域と一致す るからy≧1 B 放物線とx軸がx≧1の g(x)=x2-3x+kとし, g(x)=0の判別式をDとすると範囲の異なる2点で交わる条 [1] D>05 (-3)²-4•1•k>0+x)=(0- 場合 y | | y=g(x) 件と同じ。 よって 9-4k>0 ゆえにん<- k< (2)の実(=d 9 4 ③) [2] 放物線y=g(x) の軸は直線x=1で, 1< =123で1<2である。 [3]g(1) ≧0 から 12-3・1+k≧0 よってk≧2.. ④ ..... 入れ替え 0 ③④の共通範囲をとって 2≦k<- 9 4 g 32 x

数学 極限 下線部はなぜ3^xではなく2^xで割るんですか? 分母の係数が1番大きい数で割るのではないんでしょうか

(2) lim X→∞ ∞ 12 全部逆 (3) lim(√x2-xx)=lim (4) lim 3x2+4x-1 2x2-3 4x *--∞ 3*+2x 800 x-00 = 2x-1 x1+2* (6) lim なる = Kim lim X-8 8 lim 818 3+ 1 2 4 1 3 (x²-x)=x² x+x√√√x²-x+x 2- 3 x² 1 XC -1 1 x 3+0-0 2-0 =lim +1 8x 2x 0 3\x 0+1 (2/²)*+ +1 -2 -1 √1-0+1 :0 ■ 次の極限を求めよ。x=tとおくと、 _ (1) lim(x-2x2)=-X (2) lim xx32x (4) lim(√x²+2x-x) £₂¹(5) lim√√x (√x+1-√x-1) よって(5) x480 4 = となる。 2x2+3 -X x2-x+x く。 75 lim 7²-5² *--* 7* +5* 3 2 0 出す。 分母の最高次の項のx2 で分母・分子を割る。 無理式には有理化が有効。 なお, x→∞であるか ら,xで分母・分子を割 る際は x>0と考え, x=xとする。 ■ 分母・分子を2で割る。 (3) lim 3x³+1 xx+1 ? 1 24 > 34 T= `t`

赤で囲った部分、なんでマイナスになるのですか？

基本例題 次の極限値を求めよ。 (1) lim (1/2/logsx + 10ga(√3x+1-√/3x-1 x →∞0 解答 P.82 基本事項/ 指針 (1) 対数の性質 klogaM=loga M, loga M+loga N = loga MN を利用して {}内を10gsf(x) の形にまとめる。 そして, f(x) の極限を考える。 (1) 1/12 logsx+log (3x+1-√3x-1) (2) ∞-∞の形 (不定形) で 無理式であるから, まず 有理化を行い, 分母・分子 8 xでくくり出す。このとき, x∞であるから、 x<0 として変形すること 注意。 x<0のとき,√x=xではなくて、x= =-x である。 なお,別解 のように,x= -t の おき換えで, t→∞の問題にもち込むのもよ =log3 √x+log3- (3x+1)-(3x-1) √3x+1+√3x-1 =10g3- ② 51 (与式)=limlogs X→∞ =lim log3 818 2√x √3x+1+√√3x-1 =logs 2 2√3 (2) lim(x+3x+x) = lim =lim 2√√x √3x+1+√3x-1 2 3+ (x²+3x)=x² √√x²+3x-x 3x =lim =lim x 1 2 習 次の極限値を求めよ。 + lim P-31 +1 -3 3 2 8 3-1 =lim -Ⅰ)} であるから 3x √√x²+3xx 3 2 別解xt とおくと→のときし○○である lim (√x+3x+x)=lim(√√²-3t-t) (1) lim(log: (8r+2)-2log(5x+3)} (2) lim (√√²+x+1+x) 3 (3) 1+ <-3t -lim-31+t 3 -1 (2) lim (√x2+3x+x) 3 2 lim (3x+1+ X-8 0000 (2) 中部大,関西) -logsx=logaxi =log3√x は √3x+1-√3x-1 と考えて、分母・分 √3x+1+√3x-12 ける。 ■分母・分子をxで割 分子の有理化。 x<0のとき √x²=-x に注意｡ であるから 変形する よってp=t 解答 練習 ③57 PRI 次 (1. |指 (2) C す for 次の lin x→

この問題の(１)で自分は解答とは違う置換積分を使って解いたんですが全く答えがあいません 代入しても全然違う値が出るので定数の違いでもなさそうです どこが間違ってるのか教えて頂きたいです(字見にくいです

次の不定積分を求めよ。 -dx √√x+ (1)x+9 +3 (1) > 無理関数の積分 分母に無理式を含むなら, まず 有理化を考える。 有理化してもうまくいかないときは,無理式を丸ごとおき換える。 例えば, (2),(3) では (2)x+3=t, (3) √x+1 =t とおく (丸ごと置換)。 一般に, 根号内が1次式の無理式 ax+6 しか含まない関数の不定積分では */ ax+b=t とおく。 CHART nax+b を含む積分 ax+b=t とおく 解答 X (√x+9-3) √x+9+3 (√x+9) ²-9 (2) SxVx+3 dx = よって =√x+9-3 X √x+9+3 ²x = ²(x+9) ²-3x+C= ²(x+9) √x+9 −3x+C (③3) Sx4x+1 dx -dx=(√x+9-3)dx p.365 基本事項 ② 分母の有理化 √√√x+s ****** [RAHO + 分を表す x+9dx= S(x+9) ²/₁ 2 = (x+9) ² + c dx 310xEyt

青チャの数IIの練習問題です！ 緑の部分について、１よりhの方が確実に大きい理由を教えてください。 なんとなく想像したらわかるのですが、どなたか分かりやすい言葉で教えてください🙏

よって (84 484 444 25 + 練習 半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大になるものに対し,その高さ、 ② 212 および側面積を求めよ。 .... 0=* 直円錐の高さをんとすると00 <h <2 また、直円錐の底面の円の半径を母線の長さを1,側面積を Sとする。 r2+|h-1/²=1であるから r=√2h-h² r2=h²+r2 であるから 1=√2h x=-2, 4で最大値64;x ゆえに よって ...... 3 ② S=πrl=π√4h²-2h S²=²(4h²-2h³) S2をんで微分すると ds2_ dh 2㎡h(4-3h)=0 とすると, ① の範囲では ゆえに,①の範囲における S2 の増減表は右のようになる。 h dS2 微分は数学 -=π² (8h-6h²)=2㎡h(4-3h) ←無理式で表され しないと無理 S>0 であることに 2, S2を考える。 0 CROCO h= : 4 3 |4|3 f(x) = ² th 整理すると ゆえに : ← 1h-1P = (k~ エギのであ したがっ [1] 2< [2] a A [3] ←<h<2である 2h-h²=h(2- DS ←S=1/12/2 D

微分を使う問題ですが 聞きたいのはそこではなくて 水色で丸をしているところと下線部のところです 初手でつまずいてます(> <;) 調べたんですけど結局分からなくて聞きます！ なぜS=1/2･2πr･l になるのかと そこからなぜπrlになったのかを教えてください

練習 半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大になるものに対し, その高さ, 底面の半径。 ©212 および側面積を求めよ。 (中央大) の 直円錐の高さをhとすると また,直円錐の底面の円の半径をr、母線の長さを1,側面積を Sとする。 +h-1f=1であるから 0<h<2 そh-1f=(h-1)? そ0<h<2であるから 2h-h°=h(2-h)>0 ア=/2h-h? 2 =h?+r?であるから 1=2h 3 ゆえに S=πrl=πV4h?-2h° |-S=;2r1 1 よって S=r(4h°-2h) ds? -=x"(8h-6h°)=2z°h(4-3h) そ無理式で表された関数 の微分は、数学IⅢを学習 しないと無理。そこで、 S>0であることに着目 し,S' を考える。 S?をhで微分すると dh 2元h(4-3h)=0とすると, ① の範囲では 4 h= 3 ゆえに,① の範囲における S° の増減表は右のようになる。 4 h 0 2 3 ds? 4 よって, S° はh==のとき極 0 dh S? *極大 大かつ最大となる。 S>0であるから, S°が最大となるときSも最大となる。 2/2 4 h 寺のとき, ② から r3 「3 ③から 1= 3 2/6 D 3

極限が求められる形、というのは具体的にどのような形でしょうか？もう約分できたり、括りだしたり出来ない状態でしょうか？ 特に(3)のような時に、どこまで有理化すればいいのか検討がつかなくて困っています💦 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

I 関数の極限 41 基本 例題024 高校数学 関数の極限 ③ 以下の極限値を求めよ。 2x°-2 /1+2x-1 V1+x-1 x+8 lim *ー-2 x-3x-10 (3) lim xー1 x-1 X→0 指針 (1)~(3) すべて の形の極限 である。 不定形の極限を求めるには, 極限が求められる形に変形 する。 ……不定形の数列の極限を求める場合と要領は同じ。 (1) 分母,分子の式は x=D1 のとき0となるから,ともに因数x-1 をもつ (因数定理)。 よって,x-1で約分 すると, 極限が求められる形になる。 (2) 分母·分子の式は x=-2のとき0となるから,ともに因数x+2 をもつ(因数定理)。 よって,x+2 で 約分 すると, 極限が求められる形になる。 (3) 分母 分子の無理式を 有理化 すると, 極限が求められる形になる。 CHART 関数の極限 極限が求められる形に変形 くくり出し 約分 有理化 評答 2x?-2 lim x-1 x→1 イ分子のくくり出しと約 =lim x-1 分。 エ→1 =lim2(x+1)=4 エ→1 x°+8 (2) lim エー-2 x-3x-10 (x+2)(x?-2x+4) = lim イ分母·分子の因数分解。 分子について (x+2)(x-5) X→-2 +6 x-2x+4 = lim x→-2 12 7 =(a+b)(a-ab+6) x-5 V1+2x -1 (3) lim x-0 /1+x-1 イ分母·分子の有理化。 =lim 分母と分子に X→0 1+x+1と 1+2x +1 を掛けた。 =lim -01+2x+1 -=2

数Ⅲの質問です 青ペンでライン引いてあるところの中の赤ラインのところの展開についての質問です　この展開って写真2枚目の展開をするらしんですが　写真3枚目の展開の仕方じゃだめなのですか？

基本 例題133 関数の極限 (3) 次の極限値を求めよ。 Mim logax+1og.(V3x+1-V3x-1) X→0 指針>(1) 対数の性質 klogaM=logaM*, logaM+logaN=1o 内を log.f(x) の形にまとめる。 そして, f(x) の極限を (2) 018 の形 (不定形) で 無理式 であるから, まず 有 でくくり出す。このとき, x- 18 であるから,x<0 x<0のとき, Vx? =xではなくて, V°=-x であ なお,別解のように, x=-tの おき換えで,t→8の 解答 1)- logax+log.(/3x+1-/3x-1) =log3Vx +log3 3x+1+V3x-1 2/x 3x+1+V3x-1 =log3 であるから 2/x 3x+1+V3x-1 (与式)=Dlimlog3 X→0 =limlog。 2 2 =log3 1 1 3+ X→の ニ 1 3 2/3 2 x 1im

(1)の問題は分母の有理化をして求めることはできますか？答えは3/2になります。

166 第3章 数列の極限 Check! 例題 無理式の数列の極限 77 次の極限値を求めよ。 3n+1 (2) lim/n(Vn+I-/n) Vn'+1+n n→ 0 n→ 0 Vn-\n-1 (4) lim nーVn+1-Vn-1 6 (3) lim n→0 n-Vn'-3n

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば