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95 接線の本数
曲線 C: y=x-x上の点をT(t, t-t) とする.
(1)点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, b のみたす関係式
を求めよ. ただし, a > 0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき,2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ.
a=0
1g(0)g(a)=0
a=0
(a+b)(b-a+α)=0
< α≠0 は極値をもつ
ための条件
b≠a-a,a>0 だから, a+b=0
(3) (2) のとき (*)より, t2(2t-3a)=0
3a
2本の接線の傾きはf'(0), (22) だから,直交する条件より
f'(0) (3a
..
8
=-1
a²=-27
_2√6,
(-1)(2762-1)--1
「
a>0より, a=
2√6
b=-
9
9
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は, 接点の個数と一致し
ます. だから、(1)の接線にA(a, b) を代入してできるt の3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです.
(3)未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが, それが 「接線が直交する」
を式にしたものです. 接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから,
2つの接点における 微分係数の積=-1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3.-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t2-1)(x-t)
∴y=(3t-1)x-2t3
(2)(1) の接線はA(a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
:.21-3at+a+b= 0 ...... (*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at+a + b とおくとき,
y=g(t) のグラフが, 極大値, 極小値をもち,
(極大値)×(極小値) = 0 であればよい.
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
・極値をとるためには2つ必要は0ではない (a 0)
点Aを通る接線が2本ある
接点が2個ある
185
接点が2個ある時の3次関数の特徴は?
大値 or 極小値が0をとる。 .
よって
極大値×極小値 0 が成り立つ。
y=x³-x
A(a,b),
94注
参考
ポイント
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
接点の個数と一致する
実は,3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をと
するとき,
・斜線部分と変曲点からは1本引ける
・Cと上の点(変曲点を除く) からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
IC
演習問題 95
曲線 y=x-6x に点A(2, p) から接線を引くとき, 次の問いに
答えよ.
(1) 曲線上の点T(t, ピ-6t) における接線の方程式を求めよ.
(2)ptで表せ
(3) 点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ.
