2枚目画像のR（S＝２）のところで、確率を求めている式の真ん中の3！/2！が何をしているのかがわかりません。教えてください。

第3問 場合の数 確率 【解説】 以下では, 東方向への移動を 南方向への移動を 西方向への移動を 北方向への移動を↑ とし,点Aから出発する経路と4種類の矢印の並べ方を対応さ せて考える.例えば,→→→ という並べ方に対しては次図の (a)の経路が対応し、という並べ方に対しては次図 の (b) の経路が対応する。 逆に,点Aから出発する経路を1つ定め ると,それに対応する矢印の並べ方が1つ得られる。 (コ) B B 「よりも左側に↓があるものの個数を考える。 まず、 、 、 の並べ方が, -=35 (通り) あり、その各々に対して4個の□への 1, 1, 1, ↓の配置の、 仕方が 4, 1, 1, ↑ *1, 1, 1. t 1. 1. L. 1 の3通りずつあるから, 北方向への移動を3回, 南方向への移動 を1回 東方向への移動を3回行うような移動の仕方の数は、 例えば、4個のと3の一の並べ 35通りのうちの1つとして。 ローローロー 35x3 105 (通り)。 四 南北の4枚のカードから無作為に1枚を引く 2 がある。 このとき、条件を満たすように 3の1と1個のを口へと配置す ることで. A (b) (1) 点Aを出発し, 5回の移動後に点Bにいる移動の仕方の数は 1. 1. →,,の並べ方の個数であるから, 5! = 10 (通り)。 2!3! 同じものを含む順列 (2) 点Aを出発し、7回の移動後に点Bにいる移動の仕方のうち、 点Cを通るものは、点Aから点Cに移動するまでに2回, 点 から点Bに移動するまでに5回の移動をすることになる。 点Aから点Cまでの移動の仕方の数は1の並べ方の個数 であるから. のもののうち、αが、 . が ...... あると これらのものを並べてでき 順列の総数は、 (通り) mimi (n=m₁+m+ +m₂) 2!=2 (通り)。 である。 この各々に対して,点Cから点Bまでの移動の仕方の数は 「. の並べ方の個数だけあるから, =5 (通り)。 よって, 点Aを出発し、7回の移動後に点Bにいる移動の仕方 のうち,点を通るものの数は, (通り). また北方向への移動を2回, 西方向への移動を1回 東方向 への移動を4回行うような移動の仕方の数は 1. 1.←→,→ →の並べ方の個数であるから, とき 引き力は4通りあり、これらはすべて同様に確からしい。 よって,, . 1.の移動が起こる確率はすべてである。 ただし、試行を行った点において、道がない方向のカードを引い た場合は移動ではなく Stay が起こる。 (3)点Aを出発し、5回の試行後に点Bにいるのは、 が2回, が3回起こる場合である。 (1)より,その確率は、 -1-1-11 [1] →1→1→ 11-1-1- の3通りの並べ方が得られる。 (4)( (4) 点Aを出発し、7回の試行後に点Bにいるような事のうち. Stay がちょうどk 回 k=0.2) だけ起こる事象をR(S=k) と す。 まず、R(S-2)のうち, D, を過るものについて考える. このとき、最初の2回の試行でDに到達する必要があるから、 が2回起こればよく、その確率は、 Stay がちょうど1回だけ起こると 残りの6回の試行では、7回の行に にいるように移動することができ ない。 また, Stay が3回以上起こると 残りの4回以下の試行ではBに することができない。 (+ さらに、残りの5回の試行で その事は、 が起これば試行でD, からBへ到するに (+)(4)-10(4) よって、 R (S2) かつ 「D, を通る」 確率は, 8. 105 (通り) ... 次に,R(S-2)のうち、D, を通らずにDを通るものについ て考える。 次に,f, f, f. 4.,,の並べ方のうち、3個目の このとき、最初の3回の試行でD, を通らずに D2 に到達する必 25- はが3回起こる必要があり、残りの2 回でStay. つまり「がない」が起 こればよい D, D, D, B

この問題はこのような公式は使えないのですか？

Aが勝つ場合である。 „Crp'(1-p)"-

解説をみてもよくわかりません 解説お願いします

-20 基本例 例題 54 平面上の点の移動と反復試行 右の図のように,東西に4本, 南北に5本の道路がある。 地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ 向かう。このとき,途中で地点P を通る確率を求めよ。 ただし,各交差点で, 東に行くか, 北に行くかは等確率と し,一方しか行けないときは確率1でその方向に行くも のとする。 A 基本 52 重要 55 指針 求める確率を A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 から, これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本間は道順によって確率 5C2X2C2 7C3 とするのは誤り! 00000 P B 重要 右図の 出たら 別に 「たら れぞ Aは う確 金 が異なる。 例えば, A111→ →→P→→ Bの確率は C D P B 11 1 ・1・1・1・1= 222 A→1→11P 11 Bの確率は 111 11 1 ・1・1= A 2 2 2 22 32 XUS したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。 右の図のように,地点 C, D, C′', D', P'をとる。 解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに 排反である。 D P B C D' P' [1] 道順 A→C→C→P この確率は 1/2x/121x1/2×11=(1/2)=1/1/2 A [2] 道順 A→D→D→P この確率は sc.(1/2)(1/2)x1/2×1=3 (1/2)=1/4 3 16 [3] 道順 AP′'→P [1] ↑↑↑→→と進む。 [2] ○○○と進む。 この確率はC(1/1) (12/12 × =6 6 2 32 よって、求める確率は 1 3 6 + 16 8 16 32 32 ○には,1個と 12個が 入る。 [3] 〇〇〇〇と進む。 ○には、2個と12個が 2 入る。 練習 右の図のような格子状の道がある。スタートの場所か ③ 54 端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かな いものとす み,裏が出たら上へ1区画進むとする。ただし,右の 表が出たら右へ1区画進 ら出発し,コインを投げて, ゴール A 解答

上と下で問われていることがどう違うのですか？

407 00000 12個のさいころを同時に投げるとき, 少なくとも1個は6の目が出るという事象 | 重要 例 46 確率の基本計算と和事象の確率 000 集まった。 D(R)と 本 43 44 =P(0) を1列 順に受 を4, 出た目の和が偶数となるという事象をBとする。 (1) AまたはBが起こる確率を求めよ。 (2) A,Bのどちらか一方だけが起こる確率を求めよ。 指針 全事象をUとすると, Uは右の図のように、互いに 排反 な4つの事象 A∩B, ANB, ANB, ANB に分けら れる。 (1) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) を利用。 (2)A,Bのどちらか一方だけが起こるという事象は, AND または ANB (互いに排反)で表される。 基本 43 44 ・U A B A∩BA∩B AB 2 ANB 砕 C (1)Āは,2個とも6以外の目が出るという事象であるか少なくとも･･･ 52 11 には余事象が近道 解答 ら P(A)=1-P(A)=1- 62 36 並び 個とも奇数の場合で P(B)= また、目の和が偶数となるのは, 2個とも偶数または2 32+32 18 検討 指針の図を、次のように 表すこともある。 62 36 レゼン 更に,少なくとも1個は6の目が出て,かつ, 出た目の 和が偶数となる場合には, 二! 通り。 (2, 6), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6) の5通りがあるから P(A∩B)= ント =り 1 30 よって、求める確率は ゼン の P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) = 18 11 + 36 36 受け C2 共 (2) (2)Aだけが起こるという事象は A∩B, B だけが起こる という事象は AnB で表され,この2つの事象は互いに 排反である。 よって、求める確率は P(A∩B)+P(A∩B) ={P(A)-P(A∩B)}+{P(B)-P(A∩B)} AA ANB A∩B ANB 図から,次の等式が成り 立つ。 P(A∩B)=P(A)-P(A∩B), P(A∩B)=P(B)-P(A∩B) また,(2)次の等式を 利用してもよい。 P(A∩B)+P(A∩B) =P(AUB)-P(A∩B) 5 5 -B- B- ANB = 62 36 5 24 2 36 36 3 11 18 JE + -2° 36 36 5 19 36 36 (1)の結果を利用。 練習 ジョーカーを除く1組52枚のトランプから同時に2枚取り出すとき,少なくとも1 ③ 46 枚がハートであるという事象をA, 2枚のマーク (スペード, ハート, ダイヤ, クラ

(1)、(2)の問題についてです。 2つとも答えが違い、模範解答と解答の方針も違ったため、教えて欲しいです (1) 私はこの問題では余事象の確率を利用して最大値が1、5、6になる確率を求めました。 最大値が1の時{1,1,1}▶︎1個 最大値が5の時{_,5,5}{_... 続きを読む

✓ * 294 3個のさいころを同時に投げるとき、 次の確率を求めよ。 X (1) 出る目の最大値が2以上4以下である確率 (2) 出る目の最大値が3である確率

(2)の3C1は3C2ではダメなのですか またその理由を教えてください

基礎問 178 第7章 確 179 高 112 反復試行 立 黒球が6個 白球が4個入っている袋の中から, 1個ずつ3回 球をとりだす.ただし, 球はそのつど, 袋の中にもどすものとす る。このとき,次の問いに答えよ (1)3個の球が同じ色である確率を求めよ. (2)2個が黒球, 1個が白球である確率を求めよ。 0 精講 この試行では,袋の中の状態(黒球6個, 白球4個)は,何回目の試 行であっても同じですから、いつでも,黒球のでる確率は,白球 のでる確率は と一定です. 10 このような同じ試行を何回かくりかえし行う試行は 解答 (1)3個の球が同じ色となるのは i) 3個とも黒 i) 3個とも白 の2つの場合がある。 i) 3個とも黒球である 確率は 3C3(160) = 275 i) 3個とも白球である 確率は 3C3 8 125 iii)は排反だから、求める確率はこれらの和で 27 8 + 125 125 35 125 25 7 (2)白球が何回目にでるかを考えると、求める確率は =3• 54 32.2 125 109 排反事象 109 排反事象 反復試行 (1)=1/ とよばれます. 反復試行でよく見かける誤りは20 18 (1) 125 ヒトや とやってしまうことです. ここで, 右表を見てもらうとわかりますが, 白球が何回目にでてくるかを考えると3通りの場 合があり, 上で求めた確率は, そのうちの1つに しかすぎません。 ですから, 上の確率に C1 (3 回のうち1回が白), すなわち, 3をかけておかなければなりません. では, (1) は何もかけなくてよいのでしょうか? 1回目 白 回黒黒白 回黒白黒 黒黒 2回目3回目 ポイント 試行Tにおいて, 事象Aが確率で起こるとき,Tを n回くりかえして Aがん回起こる確率は nChp (1-p)-k たとえば,すべて黒球ならば、(1)= 27 125 でよいのでしょうか? 「結果は 「OK」 ですが, (2) と同様に考えると実は, 第7章 ○×式の問題が8題ある試験で、でたらめに○×をつける。こ このとき、次の問いに答えよ. (1) 6題正解する確率を求めよ. (2) 6題以上正解のときに合格とするとき,合格する確率を求めよ. C3(3回のうちの3回黒), または Co (3回のうち0回 演習問題 112 がかけてあります.つまり, 3C3=sCo=1 だから 「OK」 となるのです. 文の口 (各10 ード型 述べ、 くさ で

数A 解説見てもよくわからないです。詳しい解説お願いします。 (1)の自称Aの時点で何言っているのかわかりません

いろな試行と確率 403 204 反復試行(4) さいころを回(n≧2) 投げるとき,次の確率を求めよ. 出る目の和がn+2である確率 (2)出る目の積が4の倍数である確率 和が+2になる場合を考えると, 方 (1) すべての出る目が1の場合その和はnになる. 2の目が1回出て,残りが1の目のとき,和はn+1 あと1必要なので、2の目が合計2回出る 3の目が1回出て, 残りが1の目のときは n+2 4の目が1回出て, 残りが1の目のとき,和は+3 となり,不適. 5,6の場合も同様に不適である. (2)4の倍数になるのは, 4×(整数)=2×2×(整数) このことから出る目の積が4の倍数になるには, 少なくとも1回は4の目が出る 少なくとも2回は2の目または6の目が出る の場合であるから, 4の倍数にならない」 (余事象) を考えてみる。 (1) 出る目の和がn+2になるのは, 事象A2の目が2回, 残りが1の目 事象B3の目が1回 残りが1の目 6 **** 2の目が出る確率 目16 確率は、P(A)=,ax (x(c) 2 n(n-1)x()" P(B) = „C₁x()x(t)=(+)" n-1 1の目が出る確率 n =n° 16 , よって、P(A)+P(B)=(n-1)×(1/2)+(1/2)^ (n²-n+2n). (t)" n(n+1) 2 1x (1) (2)4の倍数にならないのは, 事象A: 135から出る 確率はP(A)-(2)-(2) 事象B:26から1回だけ出てあとは 1, 3, 5から出る 数分解したとき N=2・3・5" と素因 P(B)-C()(3)-(+)-(+)" 4の倍数p 4の倍数ではない ⇔p=0 かp=1 2n = よって、4の倍数になる確率は, 1-(1/2)-2/7(1/2)=1 2n 2n+3/1\" 3 2 余事象の確率 1-P(A)-P(B) 3 投げるとき、次の確率を求めよ. (2)出る目の積が6の倍数である確率

なぜn(A)は、100/5−50/5 でないのでしょうか？49なのはなぜですか？

【例題】 50から100までの番号札から1枚取り出すとき,5の倍数または6の倍数の札が出る確率 を求めよ。 番号札の取り出し方は全部で 100-50+1=51通り 取り出した札の番号が5の倍数という事象を A,6の倍数 という事象をBとすると, 5の倍数または6の倍数の札が 出るという事象は AUBである。 ここで (4)=[10]-[1-11 から, P(A)=3 n (B)=[109]-[- |=8から,P(B)=2 51 100 49 (A∩B)= 30 30 ANB) [1][3]-2から, P(A∩B)= 2 51 AUB A U B 1からnまでのかの倍数の個 一は, をを超えない最大 整数として である。 よって、求める確率は 8 2 17 P(AUB)=P(A)+P(B)−P(ANB)=11+31-3-11-13 51 51 51 51 今回の A,Bは排反でな AnBは30の倍数の札が出 という事象である。 (

例題でなぜ経由点が分かるのでしょうか？どこを経由点にしていいのか分かりません またDを経由するところとEを経由するところは、１つにまとめて8！/4！4！では、ないのでしょうか

【例題】 右図において, P地点からQ地点に至る最短経路の個数はい くつあるか。 P• Q 5 「重複組合せ 異なるn個のものの この場合は,n<r 列に対応させると, る。 【解答】矢印の順列に対応させて数える 求める最短経路を途中どこを経由するかで5通りに場合分けする。 (i) A を経由: P→A → Q 4! 4! -=16通り 3! 3! (ii) B を経由: P→B′ →B→B" → Q 3! 2! 3! ・1・1・9通り 31.-1.1.3-9 2! (Ⅲ) Cを経由:P→C→Q 4! 4! 3! 3! =16通り (iv) D を経由:P→D→Qは,1通り (v) E を経由:P→E→Qは,1通り ←PAは,→→→ ↑の順列, A→Qは, ↑↑↑→の順列に 対応する。 D Q C B B" B' A P E ↑ (i)~(v)の場合は同時には起こらないので, 16+9+ 16+1+1=43通り 途中, A, B, C,D,E のど こかを必ず経由し, A~E のうち重複して経由する経 路も存在しないので,この 場合分けにモレダブりは 無い。 a,b,cの3種類の 例えば, αを2個, b を求めるのに,次の た順列を考える。 aabbc は○○IC すると, abbbc は C bbbbc は 7個の場所から〇 したがって, C5 a, b, c,d,ea 同様に考えれば

数学Bの、漸化式の質問です。下の写真の、緑のペンで印を付けたnのところが、等比数列の漸化式の一般項で使われるn-1ではなく、nになっている理由を教えて頂きたいです。 通常の隣接3項間の漸化式におけるn+2とnが、n+1とn-1にずれただけで、公比をかける回数は変わらないよう... 続きを読む

のに、が 重要 例 52 確率と漸化式 (2) ... 隣接 3 項間 座標平面上で,点Pを次の規則に従って移動させる。 00000 原点を出発点としてさいころを繰り返し投げ, 点P を順次移動させるとき、自然 へだけ移動させ, a≧3 ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる 1個のさいころを投げ, 出た目をα とするとき, a2ならばx軸の正の方向 数nに対し、点Pが点 (n, 0)に至る確率をp" で表し, po=1とする。 (1) Pnts を Dn, Dn-1 で表せ。 D(2) pm を求めよ。 【類福井医大 基本41.51 指針 (1) Pa+1: 点Pが点 (n+1,0) に至る確率。 点Pが点(n+1,0) に到達する直前の 状態を、次の排反事象 [1], [2] に分けて 考える。 pn n-1 Pay n n+1 X pm-1 [1] 点 (n, 0)にいて1の目が出る。 Pay [2] 6 [2] 点 (n-10)にいて2の目が出る。 (2)(1) で導いた漸化式からpn を求める。 (1) P(n+1, 0) に到達するには [1] 点 (n, 0)にいて1の目が出る。 [2]点(n-1)にいて2の目が出る。 y軸方向には移動しない。 解答 の2通りの場合があり, [1], [2] の事象は互いに排反で点(n, 0), (n-1,0)に ある。 よって pn+1=- Pn+ .pn-1 ① 6 いる確率はそれぞれ Dn, pn-1 から + Pn+1 6x2-x-1=0 On- よって x=- よって Pn+1+ (2) ①45 Pust 1/1 P = 1/1 (P+ 1/3 P-3). Dn+1 1+1= | Pn = (P₁ += = = P0) · ( 1 ) 2+1+1/2 =(1/2) po=1,p= から Pn+1 pn=1 (②③)÷10から = n+1 1 n+1 3'2 (α, B) = ( ——³½³½, ½ ½); (1/2-1/3) とする。 2 n+1 ■硬貨を投げて数直線上を原点から正の向きに進む。 表が出れば1進み, 裏が出れば 2進むものとする。 このとき, ちょうど点nに到達する確率をn で表す。ただし n は自然数とする。 (1) 2以上のnについて, Pr+1 と Pr, Pn-1 との関係式を求めよ。 (2) を求めよ。 ればBと bio