共通接線
6k を正の定数とする. 2つの曲線 C1:y=logx, C2:y=ekx
について,次の問いに答えよ.
(1)原点O から曲線 C, に引いた接線が曲線 C2 にも接するようなん
の値を求めよ.
(2)(1) で求めたk の値を ko とする. 定数 k が k > ko を満たすとき
2つの曲線 C1, C2 の両方に接する直線の本数を求めよ.
12
[愛媛大〕
アプローチ
(イ) 2曲線y=f(x), y=g(x)の共通接線の一般的な求め方は, y=f(x)
上の点 (t, f(t)) における接線とy=g(x) 上の点(s, g(s)) における接線が
一致するとして係数比較を行います。あとは s,t の連立方程式を解くこと
になります.
(口) 一般的には (接線の本数) キ (接点の個数)で
す. しかし本間の曲線なら両者は同じとしても
OK です. なぜなら右のように2点以上で接する
直線は存在しないからです .
(ハ)(2)の最後では 「右のグラフのように2本ぐら
い接線は引けそうだ」 という感覚がないとやりに
くいでしょう。この目標に向かって議論を進めて
いきます。
C21
C₁
解答
x=f(0) の点における C1 の接線と x = s の点におけるC2 の接線の
方程式はそれぞれ
い
y = =1(x-1)+log t
→y=-x-1+10g
.........
t
y=keks(x-s)+eks:
:.y
y=keksx-kseks +eks
keksx-kseks+cks.........@
(1) ①が原点を通るとき
0 = -1 + logt
1
t=e