(1)
(2)
1･2･3'
1
1
1
√3+√5.
1+√√3¹ √2+√4' √3+√5 ²
12
3③辺々を加えると, 隣り合う項が消える。
指針▷ ① 第k項を差の形で表す。
(1) 基本例題108 と方針は同じ。 まず, 第k項を部分分数に分解する。 分母の因数が
つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。
1
を計算すると
k(k+1)
解答
(1) 第k項は
11 よってS
(2) 第k項は
(k+1)(k+2)
-1)} (k+ 2) = = 1 {k{(k+1)__(k+1) (k+2) }
よって
(2)第k項の分母を有理化すると、差の形で表される。
=
k(k+1)(k+2)
}
=
= ²/² { 1 +²2² = (n + 1)(n+2)
1 (n+1)(n+2) — 2
2
√n+√√n+2
①で作った式にk=1, 2, 3, ..……,n を代入
(+1)(x+2)=1/21(k+1) (+1)/(
=1/12/11/12/12/13)+(1/2/10
-—- (( 1²/2² - 2 - 3 ) + ( 2 - 3 - 3 - 4 ) + ( 3²+ 4 - 1 +5)
3.4
…..….+
+{(n+1)(n+1)(n+2)}}
+:
=
=
2
k(k+1)(k+2)
(k+1)(k+2)}
2(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2)
1
√√k-√k+2
√k + √k+2 (√√k + √k+2)(√√ k − √k + 2 )
= 1/(√k+2-√k)
174
n(n+3)___ _{{__||
■
よって S=1/27((-1)+(4-√2)+(/-\)
=(√n+1+√n+2-1-√2)
++(√n+1-√√n-1)+(√n+2-√T)}
(n≧2)
指
部分分数に分解する。
途中が消えて、最初と最
だけが残る。
I
検討
次の変形はよく利用される。
1
k(k+1)(k+2)
= = 2 {\k(k+1)= {(k+1)/(x+2)/
分母の有理化。
途中の±√3, 4,
± √5, ······, ± √/m-1,
±√が消える。
