集合と位相の問題です。 (4)-(6)が分かりません。 出来れば(1)-(3)も解説お願いします🙏

1. p を素数とする. 有理整数全体からなる集合に対して x~y⇔x-y∈pZ:= {m|n∈Z} という関係を定める. (1)〜 はZ上の同値関係であることを証明せよ. (2) 同値類 Z/~の完全代表系を一組求めよ (証明は不要). (3) 以下の写像が well-defined であることを証明せよ. Z/ ~ ×Z/ ~→ Z/ ~; ([x], [y]) ↔ [x] × [y] := [x × y]. (4) Z/~の [0] でない任意の元 [2] に対して, [x] × [g] = [1] となる [y] が 存在することを証明せよ. X (5)を正の整数として, [u] ∈ Z/~の”個の積を [u] := [u] x [a] xx [] と表すことにする. 実は,ある [g] ∈Z/~が存在して, [0] でない任意 の [a] ∈ Z / ~に対してr∈Z が存在し, [a] = [g] となることが知ら れている.このg に対して, [g]P-1 [1] であることを証明せよ.また, 1≤r <p-1に対しては [g]" ≠ [1] となることを証明せよ. (6)p-1∈4Z を満たす素数 p に対して, [x] = [-1] を満たすæ が存在す ることを証明せよ. (ヒント: 「オイラーの規準」 で検索)

なんでpとrが互いに素になるのか教えてください！

44 (1) 素数pと 1 ≦r ≦ p - 1 なる整数に対して,二項係数についての等式 YpCr=PC1を証明し, C,はかの倍数であることを示せ .

この問題の⑵で、なぜx1^p+x2^p+...をひくと単項式の係数になるのかなどが分かりません 教えてください🙇‍♂️ お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️

3-2 は素数, rは正の整数とする. 以下の問いに答えよ. (1) 1,2,… についての式(x+x^2+..+xr) を展開したときの単項式 x₁¹x2² p2...... xyr の係数を求めよ. ここで, P1, P2, ..., brは0または正の整数でi+p2+..+ pr=p をみた すとする. (2) 1,2,.., I が正の整数のとき, (3) (x₁+x₂+...+xr) — (x₁+x₂²+...+x₂²³) はpで割り切れることを示せ. 0+"S はかで割り切れないとする. このとき, rp-1-1はかで割り切れること を示せ (大阪大)

この画像の、二つ目の証明の上から2行目で、「pは素数であるから」って必要ですか？pが素数でなくても、余りは1,2,・・・,(p-1)になるような気がします。

X 次の定理をフェルマーの小定理という. を素数とは互いに素な正の整数とするとき, k²-1≡1(modp) 代 が成り立つ. ***** この定理を証明する前に次の定理を示しておこう. $700 ことを利用して、フェノ ME 083,4). このことを利 の こ 【証明】 正の整数aとbが互いに素のとき, 6,26, 36,46, ......, (a-1)をαで with+ 割った余りは,すべて異なる. ただし,α≧3 とする. Tors C VER 【証明】 , nは整数で, 1≦m <n<a として, a で割ったときのmbnb AEXUS の余りが等しいと仮定する. nb-mb=(n-m) はαの倍数であるが, αとは互いに素より、 ガウターがαの倍数となる.ところが, 1≦n-m<a-1 より,n-m 実はαの倍数にならないので矛盾する. WANSFORE す。 αで割った余りはすべて異なる. よって, (5 に濡れる SAR.. フェルマーの小定理を示してみよう. 用して, (証明終) k, 2k,..…...., (p - 1) k を』で割ったときの とは互いに素より, (1) 個の余りはすべて異なり, pは素数であるから, (-1) 個の余 りは, 1,2, p-1である. kx2kx......× ( p-1) k = 1×2×･･････X ( -1) (modp) つまり, (ヵ-1)!.k²-1=(p-1)!(modp)...... ① 85,48 素数と2,3,.…… p-1 はいずれも互いに素であるから, (-1)! 1000 (証明終) 4. -1 とは互いに素より, ①,11 (modp) 10% 0

ご解説をよろしくお願いいたします。

さくれが力と なお, 改訂版チャート式数学I+Aのか.545でも, フェルマーの小定理を証明して 練習 165 自然数m≧2に対し, m-1個の二項係数 mC1, mC2, ......, mCm-1 を考え, これらすべての最大公約数を dm とする。 すなわち dm はこれらすべてを割 (5) Fus り切る最大の自然数である。 (1) が素数ならば, dm=mであることを示せ。 〔東京大〕 野 (2) すべての自然数んに対し, h" -k が dm で割り切れることを,kに関す 数学的帰納法によって示せ。 習 166

オイラーの定理やフェルマーの小定理の分野です。 考え方や答えがわからないとしても、別の見方があれば教えていただきたいです。

a,b,c,d,e を整数とする。 00-60 +0+ d + e がある整数の6乗と一致し、 かつ7で割れなかったとすると a,b,c,d,eの中で7の倍数であるものは、ちょうど 個である。

フェルマーの小定理の証明を中学生でも理解できるような解説お願いします。

フェルマーの小定理 ⑵が分かりません

用 考え方(1) mbと nbをaで割った余りが等しいとすると矛盾が生じることを示す。 (1) 正の整数aとbが互いに素のとき、 b, 26, 3b, 4b, ………, (a-1)b 例 題 277 フェルマーの小定理(1)O をaで割った余りは,すべて異なることを示せ,ただし, aN3 と する。 vo(1)を利用して,正の整数aが3以上の素数かと互いに素であるなら ば、aP-! をかで割った余りは1であることを示せ, 必要であれば, bと m が互いに素のとき, ka=kb (modm) ならば, a=b(mod m)となることを用いてもよい。 mbと nb をaで割った余りが等しいとすると矛盾が生じることを示す。 (2) 合同式を利用して,a°!=1 (modp) を示す。 「総答(1) m, n は整数で, 1lSm<n<aとして、 aで割ったと きのmbと nb の余りが等しいと仮定する。 このとき,nb-mb=(n-m)b はaの倍数であるが, aとbは互いに素よ り,n-mがaの倍数となる. ところが, 1<n-m<a-1 より, n-mはa の倍数にならないので矛盾する。 よって,aで割った余りはすべて異なる。 (2)aとかは互いに素であるから, a, 2a, 3a, 4a, ……, (カー1)aをかで割っ たときの(カ-1)個の余りは, (1)よりすべて異なり,かは素数であるから, (カ-1)個の余りは, 1, 2, 3, 4, ……, p-1である。 したがって,pを法とする合同式を用いると, a×2a×3a×4a×………×(カー1)a =1×2×3×4× ×(カ-1) (mod) つまり, 素数かと 2,3, 4. 背理法を利用する。 あケ素が4 ポー 4お(1- a=b(modm), c=d (modm) ならば、 ac=bd (modm) (b-1)!a°-1=(カ-1)! (modp) 0 ……, p-1とはいずれも互いに素 るるっであるから,(カー1)! とかは互いに素で, ①は, a-1=1 (modか) で働多(よって, a"-1 をかで割った余りは1である。 p=2 のときも成り 立つ、

合同式modについて質問です。 2の100乗を101で割った時の余りを求める問題の過程を教えて欲しいです。答えは1らしいです。

(2)の最後の1行で、「ここでrはpで割り切れないから」とありますがどこから判断できるのでしょうか？

練習 かは素数, rは正の整数とするとき, 次のことを証明せよ。 7 ……, X,が正の整数のとき, (x+x2+ +x,)°- (x"+x°+… +x,P) はかで [類大阪大) (1) X1, X2, り切れる。 (2) アがかで割り切れないとき, rロー1_1 はかで割り切れる。 (1)(x+x2+……+x,)°を展開したときの単項式 x"x2?..……x,"r. か! p! pe!……pr! 多項定理。 OT の係数は (x1+x2+………+x,)° の展開式における x°, x2?, ………, x,° の係数 はそれぞれ1である。 したがって,(*)から, (x+x2+………+x,)°-(x°+x2?+……+x,") か! Pr の各項は Xi"x2"2.. ,? p! pe!…pr!" ただし か+e+………+p,=p, 1Sisr について 0SpSp-1 2 pは0以上の整数。 と表すことができる。 か! か!pa!…p! ここで, (カ-1)! は整数であるが, p は素数であり, ②から, この式の分母はかを素因数にもたない。 -=か. p! pe!…pr! (カ-1)! p! pa!……p! ゆえに,かと分母は互いに素であるから, は整数 である。 よって, か! はかの倍数である。 p! pe!…pr! したがって, ① はかで割り切れる。 2)(1)の①において, xi=x2= =Dx,=1 を代入すると, peーr=r(rロー1_1) は素数かで割り切れる。 ここで, rはかで割り切れないから, re-1_1 はかで割り切れる。