テイラーの定理の証明で　大学の先生が意味不明な式を書いたのですが誰か分かる人おられますか あとこの微分って合ってますか

Fox : fox). for: for n - fras f'(a) (x-a) f'(a) - f(a) ()(-a) flas -21 of cas 12! (f'cas (x-~)) = f'(a) (x-as to flas (x-a)²_ 2 (x-4) ²- – (14 - flu-13 ではないですか (a) (n-1)! f(n-1) (a) (n=2) ² (x-2)^-1 +4-2 (x-a)"

この問6の1,3,4,5を解きたいのですが、2次偏数導関数までは求められるのですが、それ以降の計算がよくわからないので教えていただきたいです。

問6. テイラーの定理でa=b== 0, h=", k=yとおいたものをマクローリ。 (2) sin(z+y) (4) log(1 - a° -y") (1 glar 定理という. n=2のとき, 次の関数にマクローリンの定理を適用せよ, 9. ((r,9) チ (0,0)) GV ((0'0) = (R'x) I dxa 22+ y? (3) cosh(z + y) ニ 0

テイラーの定理に関する問題です。図2は適当に書いた落書き😂。どうすればいいか知らないんです。教えていただけませんでしょうか。

問1. Key Words: Taylor の定理,平均値の定理, Rolle の定理 関数 f,g:(a,b) →R は以下を満たす: [1]fは (a,6) 上n階微分可能, [2] gは (a,6) 上m階微分可能,且,任意の ze (a,6) に対して9(z) ¥0. この時以下を示せ: 任意に z,co€ (a,6) を取る. この時, 0E (0,1) が存在し,E = Ox+(1-0)zo と置くと,以下が成立する: glk) (Io) n-1 m-1 fa) - (o) (al so)t| gom)(£) 三 k! k! k=0 k=0 問 2. Key Words: Taylor の定理, 平均値の定理, Rolle の定理 関数 f,g:(a,b) →R は以下を満たす: [1] f,g は(a,b) 上n階微分可能, [2] 任意のz€ (a,6) に対して #g(a) ¥0. この時以下を示せ: 任意に x,zo € (a,b) を取る. この時, 0e (0,1) が存在し,ミ= Oa+(1-0)zo と置くと,以下が成立する: n- f(z) = > (g(x) - 9(zo)}* + Rn(x) k! k=0 但,の, R, は以下で与えられる: o(z):= f(x), (z) := の-1(x) (k21), g(x) ゆn(5) -{の(土)-中(20)}". Rn(x):= n!

(1)について、テーラーの定理を用いて解こうと思いますけど、やはり後ろの項はどういう風に扱うのか知らないんです。最後残っているやつはn+1回微分されたやつですが、テイラーの定理はn回微分のやつですね。 もしできれば、(2)(3)もお願いしたいです。ヒントでもいいです。試し... 続きを読む

以下で関数」:0, a] → R は [0, z] でn回連続微分可能(区間の端点では右,左連続), (0, x) でn+1 回微分可能であるとする。 (1) ある0<T<{<rが存在して ) -E0号+(e と表される事を示せ (2) ある0<aく』が存在して fu+(r) = fn+)(a); n+1 となる事を示せ。 (3) 更に fn+1)(0) +0 が存在し,n+1) ; [0, m) → R は 0で右連続であるとする。この時, ミ1 lim エ→+ ま n+1 を証明せよ。

4.2.8[例] (2) についてです。 αが自然数のときに整級数が多項式なることは理解できるのですが、 αが0のときにも多項式になることが理解できません。 αが0のとき与えられた整級数は1になると思うのですが、 それは多項式なのでしょうか。 また、 多項式ならば収束... 続きを読む

2) anz"|=1 anl-|21→cl21 (n→8のとき) だから, コーシーの判 定法(命題4.1.13の2)) によって|z|<さなら収束し, |エ>上ならみ C 散する。ロ n!(n+1)カ+1 n n! an 4.2.8 【例】 1) 2. n 1- n ニ ミ ニ n → 2 n=0 2 An+1 (n→8のとき) だから, 収束半径は eである. C○ 2) 2.Cz"(aは実数). 。Cォ3 だから, aが0ま n! n=0 たは自然数なら整級数は多項式になり, 収束半径は+8. そのほかの場合 Cn Cnt-n+1 a-n →1 (n→8のとき)だから収東半径は1である。 ●テイラー展開 4.2.9 【復習】(テイラーの定理) 定理2.5.4の, 0でのテイラーの定理を復 習する。 0を含むある区間(0は端点でけないと 級 目目 fが

この証明が分かりません。 テイラーの定理を利用するのでしょうか？ よろしくお願いします。

関数 Saz がある 【区間工 で C^般であるとする 区間工の点、0をとる 。 このとき、すべての点、えに対して 目然、数んに関 す3 数学的り帰内法を用いて 次が成り立て ことを示せ a-l Sa7 - セ-0 t 4! ただしRのは) = S (スーセ)ルーde x g0/t). 々 (n-1)! (スーセ)カー1 とする

テイラーの定理で、このRnってなぜそれまでaだけだったところにθが出てくるのですか

と書 定理 2-10 (Taylor の定理) 関数 f(x) が点 a, b を含むある区間 微分可能であるならば, (b-a) fr(a)+… f(b)=f(a)+(6-a)f'(a)+ 2! (b-a)" fn-1) (a)+R (2-3) R,= f(a+0(b-a)), 0<0<1 n! となるような0が存在する。

(3)がわからないです。 わかる方いたら教えてください

レポート作成上の注意: 1.名前と学籍番号を書くこと。(成績処理の都合) 2.ファイル名は「Report4」とするのが好ましい。(全角文字はバグの原因になる)(成績処理の都合) 3. 採点者が読みやすい文字で書くこと。(採点の都合) 4.問題文は書き写さない。可能な限り一枚の(明るい) pdf にまとめること。(pdf 以外は減点します)(採点の都合) 3 *3 -1<zS1のとき log(1 + z) = r となることが知られている。たとえばェ=1のとき 2 4 5 1 log 2 = 1- 2 1 1 3 4 となりェ=1/2のとき log3- log2 = log(1 + 1/2) = 1 2 3 4 5 となる。 課題、関数 f(z) = log(1 + z) を考える。 となることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 fo) (0) (2) f(x)のェ=0におけるテイラー多項式 P,(r) = f(0) + f'(0)r + 2! n を求めよ。 n! (3) 0SS1とする。f(z) のn+1次の剰余項 Rn+1(x)を考える。テイラーの定理を用いて lim Ra+1(x) = 0 を示せ。ここでn+1次の剰余項 R+1(z) とはf(x) - P,(z) のことである。 補足:(3) の主張は、0冬ぉS1のとき f(z) = lim (P.(z) + Rn+1(r)) = lim P,(z) = f(0) + f(0)x+ 2! f"(O。 f)(0) n! 2→ となることを意味する。 注意:多くの参考文献では、f(z) のn次の剰余項 R,(z)(= f(z) - P,-1(z)を考えている。注意すること。

わかる方教えてくださいお願いします。

レポート作成上の注意: 1.名前と学籍番号を書くこと。(成績処理の都合) 2.ファイル名は「Report4」とするのが好ましい。(全角文字はバグの原因になる)(成績処理の都合) 3. 採点者が読みやすい文字で書くこと。(採点の都合) 4.問題文は書き写さない。可能な限り一枚の(明るい) pdf にまとめること。(pdf 以外は減点します)(採点の都合) 3 *3 -1<zS1のとき log(1 + z) = r となることが知られている。たとえばェ=1のとき 2 4 5 1 log 2 = 1- 2 1 1 3 4 となりェ=1/2のとき log3- log2 = log(1 + 1/2) = 1 2 3 4 5 となる。 課題、関数 f(z) = log(1 + z) を考える。 となることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 fo) (0) (2) f(x)のェ=0におけるテイラー多項式 P,(r) = f(0) + f'(0)r + 2! n を求めよ。 n! (3) 0SS1とする。f(z) のn+1次の剰余項 Rn+1(x)を考える。テイラーの定理を用いて lim Ra+1(x) = 0 を示せ。ここでn+1次の剰余項 R+1(z) とはf(x) - P,(z) のことである。 補足:(3) の主張は、0冬ぉS1のとき f(z) = lim (P.(z) + Rn+1(r)) = lim P,(z) = f(0) + f(0)x+ 2! f"(O。 f)(0) n! 2→ となることを意味する。 注意:多くの参考文献では、f(z) のn次の剰余項 R,(z)(= f(z) - P,-1(z)を考えている。注意すること。

問題とその答えなんですけどなんかおかしくないですか？ 自分はy＋πのところがy-πになると思ったのですが…（語彙力なくてすみません） 途中式書いてもらえると幸いです。