Question

オウ

テイラーの定理に関する問題です。図2は適当に書いた落書き😂。どうすればいいか知らないんです。教えていただけませんでしょうか。

問1.
Key Words: Taylor の定理,平均値の定理, Rolle の定理
関数 f,g:(a,b) →R は以下を満たす:
[1]fは (a,6) 上n階微分可能,
[2] gは (a,6) 上m階微分可能,且,任意の ze (a,6) に対して9(z) ¥0.
この時以下を示せ: 任意に z,co€ (a,6) を取る. この時, 0E (0,1) が存在し,E = Ox+(1-0)zo
と置くと,以下が成立する:
glk) (Io)
n-1
m-1
fa) - (o) (al so)t| gom)(£)
三
k!
k!
k=0
k=0
問 2.
Key Words: Taylor の定理, 平均値の定理, Rolle の定理
関数 f,g:(a,b) →R は以下を満たす:
[1] f,g は(a,b) 上n階微分可能,
[2] 任意のz€ (a,6) に対して #g(a) ¥0.
この時以下を示せ: 任意に x,zo € (a,b) を取る. この時, 0e (0,1) が存在し,ミ= Oa+(1-0)zo
と置くと,以下が成立する:
n-
f(z) =
> (g(x) - 9(zo)}* + Rn(x)
k!
k=0
但,の, R, は以下で与えられる:
o(z):= f(x), (z) :=
の-1(x)
(k21),
g(x)
ゆn(5)
-{の(土)-中(20)}".
Rn(x):=
n!

中はペ- K。を含むらでn回ゼ分可供
その区同にぞとするのに対し
n-l
pu)= foRl
forhe) (a-a)e+ (aーグ。
pom
'(Ko+8 (カ-4)) (o<0c)
n!
と考きるせる
[m- がす)
fpore
ftia)
Kー1
t
m-1
- (-ヴ)+
M-l
(Kot
fa-gos
こ
R
K-2%)
fmycait
o+ Olk-%))
m!
ガー1
f
fs-
ネ。
Rn-Rm
ン
0

テイラーの定理

Answer 1

Crystal Clear

ヒント

問1
コーシーの平均値の定理に似ている。実際m=n=1のときコーシーの平均値の定理になる。
コーシーの平均値の定理の証明を少しアレンジすればできる。
https://mathlandscape.com/cauchy-mean-value-theorem/

問2
テイラーの定理の拡張。通常のテイラーの定理はg(x)=xとしたもので、φk(x)=f^(k)(x)になる。
テイラーの定理の対応する部分のxをg(x)に、f^(k)(x)をφk(x)にすれば証明ができあがる。
https://manabitimes.jp/math/1001

コーシーの平均値の定理

オウ

回答してくださり、ありがとうございました。後で丁寧に読みます。この2問本当に放置し過ぎて、今までどういう風にやればいいのか知らないんです。

Crystal Clear

それと問題に誤植があります。
問2の
Σのあとのφk(x)は正しくはφk(x0)で、
最後のRnの定義の式の{φ(x)-φ(x0)}^nは正しくは{g(x)-g(x0)}^n
だと思われます。

オウ

そうですか。これは私の先生が出題されたのです。多分誤植があるかもしれません。後で見てみましょう。

オウ

本当にありがとうございます！数学科の学生か先生ですか。

オウ

一応こういう風にやったんですけど、でも、mとnが同じである時しか成立してないみたいですね。

Crystal Clear

略解です

オウ

すみませんが、問1どうしてx_0を代入するとφが0になりますか。

Crystal Clear

そうですね。勘違いしていました。1の回答は無視してください。時間があるときにまた考えてみます。

また、その前の回答案ですが、f(x)のテイラーの定理のξとg(x)のテイラーの定理のξが一致する保証はないので、回答としては正しくないです。ただし、確かにm=nのときはコーシーの平均値の定理を連続回続ければ示せます。

オウ

そうですね。その問題が出てきました。私も考え直します。答えていただいた答案のイメージが理解できました。ロールの定理を使いたいわけですね。だからx_0とxを代入すると、両方0になってくれれば嬉しいですね。

オウ

すみません、問2なんですが、h’どうやって計算するのでしょうか。結構面倒くさいと思ってるけど。