判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大] 基本98 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=tとおくと y=t-2x... ① これを x2+y2=2に代入すると 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0...... ② このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ②の判別式をDとすると D≧0 ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10) 4 x2+(t-2x)=2 D≧0から t²-10≦0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=- t=±√10 のとき x=± したがって x= 2√10 5 x=1 2√10 5 2√10 5 '10 y= 5 y=- -4t 2.5 2t 2/4 をもつ。 5 √10 ① から y=± 5 (複号同順) √10 5 のとき最大値 10 のとき最小値-√10 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 (ax+by)³s(a+b) (x² + y²) [等号成立はay=bx] a=2, b=1 を代入すると (2x+y)=(2+12)(x2+y²) x2+y²=2 であるから (2x+y)^2≦10 よって -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、左と同じ答 えを導くことができる。 187 3章 13 2次不等式

(2)を教えて欲しいです。数IIの剰余の定理の問題です。解説を読んでも緑マーカー部分の式変形から全然分かりません。どなたかよろしくお願いします！

** 27 2(= 月 日 (メー xの整式f(x) を x-1, x+2, x2+x+2で割ったときの余りがそれぞれ2,5, -3x+1である。 (1) f(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。 (2) f(x) を(x-1)(x²+x+2) で割ったときの余りを求めよ。

なぜ根号のなかのDがyの完全平方式になる時与式がx,yの一次式の積になるのですか。

**** 例題 56 完全平方式 (1)( )で表される式を完全平方式という.xの2次式 x2+2ax+a+6 が完全平方式となるように、 定数αの値を定め, 完 全平方式で表せ. (2) x2-xy-2y2+5x+ay +6 がx,yの1次式の積となるように, 定 数αの値を定め, 因数分解せよ.

「重解をもつための必要十分条件はD=0」 ではなく「重解をもつのでD=0」でもいいですか？ また「重解は」ではなく「解は」でもいいですか？ 最後に、重解がx=-mであることを求めなくても 与えられた2次方程式にm=-2を代入するとx=2が出てくる（m=5でも同様に）と思うの... 続きを読む

156 基本例題 97 / 2次方程式の実数解の個数, 重解条件 ①①①①① (1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 ただし、(イ) kは定数とする。 (ア) x²-3x+1=0 (イ) x2+6x-2k+1=0 (2) xの2次方程式x2+2mx+3m+10=0が重解をもつとき, 定数mの値を求 めよ。 また, そのときの方程式の解を求めよ。 p.149 基本事項 ② 基本115 指針▷ (1) 2次方程式 ax²+bx+c=0 (a, b c は実数) の実数解の個数は、判別式 D=ぴー4acの符号で決まる。 D>0⇔2個 D=0⇔1個 D<00個 (イ) Dがんの1次式になるから, kの値によって, 場合を分けて答える。 (2) 2次方程式が重解をもつ⇔D=0 によって得られる の方程式を解く。 また, b 2次方程式 ax²+bx+c=0が重解をもつとき, その重解はx=- (p.149 参照 ) 2a D なお,xの係数がb=26' (2の倍数) のときは, 1/1=6 =b"-ac を使う方が, 計算がら になる。 ← (1) の(イ), (2) 解答 (1) 与えられた2次方程式の判別式をDとする。 (ア) D=(-3)^-4・1・1=9-4=5 D>0であるから、 実数解の個数は 2個 (イ) 41=3°-1・(-2k+1)=2k+8=2(k+4) よって,実数解の個数は,次のようになる。 D0 すなわち k> 4 のとき D = 0 すなわち k = -4のとき D<0 すなわち k<-4のとき (2) この2次方程式の判別式をDとすると D 2= =m²-1.(3m+10)=m²-3m-10=(m+2)(m-5) 重解をもつための必要十分条件は すなわち (m+2)(m-5)=0 また, 重解は したがって x== 2m 2･1 =-m 2個 1個 0個 D=0 よってm=-2,5 カール m=-2のとき 重解はx=2, m=5 のとき 重解はx=-5 次方程式 x2+2・3x-2k+1=0 とみて 12/2 を計算している。 2次方程式 ax2+2b'′x+c=0 の重解は x== 26′ 2a b' a

この問題の4行目の｛b-(a+2c)｝の式なのですが、なぜ マイナスになっているのでしょうか？わかる方いらっしゃいましたら教えてくださると助かります。

(3) a² +2bc-ab-4c² (2c-a)b+(a²-4c²) = = (2c-a)b+(a+2c)(a−2c) =((2c-a){b_(a+2c)} (2c-a)(b-a-2c) α:2次式 (i) 6:1次式 c: 2 YRET (ii) 各項を因数 a-2c=-(2c-α)だから マイナスを忘れないように

(2)の解が存在しないようなaの値というのはどういうことでしょうか？

数学 Ⅰ 第3問(配点30) [1] a,bは実数とし, 0<a≦b とする。xの1次式の積で表される2次関数 f(x)=(ax-1)(bx-1) について考える。 以下,xのとり得る値の範囲は実数全体とする。 (1)a=2,6=3 とする。 2次不等式f(x)<0の解は である。 1 ア a= X₂ (2) 6=3 とする。 2次不等式 f(x)<0 の解が存在しないようなaの値は < x < H である。 また,2次不等式f(x)<0 を満たす整数xがただ一つ存在するよう なαの値の範囲は オ 1 イ ≦a< カ

x1を求める時のたすき掛けの仕方を教えて頂きたいです！

練習 ¥ 70 (4) 実数x,yが2つの不等式 x2 +9y2≦9, y≧x を満たすとき, x+3y の最大値、最小 値を求めよ。

なぜ下の問題の解答は上の問題の解答のように剰余の定理によりP(2)=12と書かずに、わざわざ x-1で割った余りが5であるからP(1)=5のような書き方をするのでしょうか？

15 例題 7 解答 20 多項式 P(x)=x+ax²+3x-2a をx-2で割った余りが12で あるとき、 定数αの値を求めよ。 剰余の定理により P(2) = 12 であるから 2+α・22+3・2-2α=12 整理すると よって 2a=-2 a=-1 多項式 P(x)=2x+5ax²+ax+1をx+1で割った余りが-5であ るとき,定数αの値を求めよ。 応用 多項式P(x) x-1で割った余りが5, x+2で割った余りが 例題 0 2-1である。 P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りを求めよ。 考え方 P(x) を2次式(x-1)(x+2) で割った余りは, 1次式か定数であるか ら, ax+bとおくことができる。 解答 P(x) を(x-1)(x+2) で割った余りをax+b とおいて,商を Q(x) とすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+6 この等式より P(1)=a+b,P(-2)=-2a+b また,x-1で割った余りが5であるから x+2で割った余りが-1であるから a+b=5, -2a+b= -1 よって これを解くと a=2,b=3 したがって 求める余りは 2x+3 P(1) = 5 P(-2)=-1

高2漸化式 緑のマーカー部分がどこから求まっているかわかりません💦 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

6 漸化式と数列 ※以下、特に断りがない場合は,漸化式はn=1,2,3, 隣接 2 項 隣接2項 隣接2項 で成り立つものとする。 20 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (2) α1=5, an+1=3an 隣接2項 (1) α=2, an+1=an+4 (3) α=1, an+1=an+2n-3 ポイント (1) an+1=an+d. (2) an+1=ran (3) an+1=an+ (not) → 21 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=6, an+1=4an-9 ポイント ② an+1=pan+g an+1-c=p(an-c)と変形 ポイント ④ 両辺を2" +1で割ると 公差dの等差数列 公比rの等比数列 an 2" 2. an+1=an+(nの式) 2 22 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=1, an+1=2an+3n ポイント③ @n+1=pan+ (nの1次式) 階差数列を利用 23 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a=10, an+1=3an+2 +2 → 階差数列を利用 とおくとbn+1= an+1 2n+1 重要事項 ◆漸化式と一般項 1. 等差数列,等比数列は, 次の条件で定められる。 a=a, an+1=an+d a = a, an+1=ran 3 2 2 . -6n+2 an +2 初項a,公差dの等差数列 初頂

例題47(2)の青い部分で何を言ってるのかよく分かりません。 青い部分以降もなぜそれをすれば答えが出るのかも教えて欲しいです。

2 第2章 高次方程式 Think x ²2 2次式の因数分解 (1) 複素数の範囲で考えて、次の式を因数分解せよ。依 ア 3xxのを求めよ。 例題 47 x-160 (2) xxy-6²-9x+ky+20 が1次式の積となるように熱の値 LONE を定めよ. |解答 考え方 (1) (与式)=0とおき、xの2次方程式を考えると,複素数の範囲で必ず解をもっ (2) まずxの2次式とみて因数分解し, これがx,yの1次式の積になると考える。 (1+AS)E 別解では, 「与えられた式が1次式の積で表される」 ⇒ (1) (ア) 31=0の解は, (2) SA )の形に因数分解できる」ことから( __(-1)±√(-1)-4・3・(-1)_1±√13 2.30 (沖縄)(増量)] x2+(y-9)x-6y2+ky+20=0 の判別式をDとすると,①の解は, x= 2 したがって, 与式は, x=- よって15 3x-x-1=3x-- (イ)x16=(x-4)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4人 3x²-x-1=0の2 x2+4=0の解は,x2=-4 より 解をα, βとすると、 したがって,x+4=(x-21)(x+2i) 左辺は よって, x-16=(x-2)(x+2)(x-2)(x+2i) の2次方程式 3x²-x-1 S __(y-9)±√D_9-y±√D と因数分解できる. 4 1+√13 6 √13)(x-1-√13) 6 (5)=(x-9-y+√D 2 3569 10 2 x=±2i x-9-y-√D (1) D=(y-9)²-4・1・(-6y2+ky+20 ) =y°-18y+81+24y²-4ky-80) == (S-88 =4(k+9k+14)=4(k+7)(k+2) したがって, 4(k+7)(k+2) = 0 よって, k=-7, -2 **** =25y^-2(9+2k)y+1=0 2(1)( したがって、与式がx,yの1次式の積になるのは, 根号の中のDがyの完全平方式であるときである. yについての2次方程式 25y²-2(9+2k)y+1=0 の 判別式をDとすると,D=0である. wimm D={(9+2k)}^-25・1=4k²+36k+56 )() の形で表す。 解の公式を用いる。 の係数3を忘れ ないこと ESTE =3(x-a)(x-β) と因数分解すること ができる. yの2次式 |完全平方式とは, ay-α)” の形のこと 完全平方式であるか ら、重解をもつ (判別式) = 0 100900-8+ x(+9)+* 注)Dがyについての2次式なので､Dをa(y-α)² と表すことができればDyの 1次式として表すことができるので､Dがyの完全平方 k-7 のとき D = ( 5y+1)^ k=2のとき D=(5y-1)²