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基本 例題176 関数の極値 (1)…基本
指針>関数の極値 を求めるには, 次の手順で増減表 をかいて判断する。
301
次の関数の極値を求めよ。
【類 甲南大)
(2) y=2cosx-cos2.x (0名xハ2x)
駅
(3) y=|x|/x+3
p.298, 299 基本事項 2, 3, 基本175
m 定義域,微分可能性を確認する。… 明らかな場合は省略してよい。
2 導関数yを求め,方程式y=0 の実数解を求める。
3 V=0 となるxの値やyが存在しないxの値 の前後でyの符号の変化を調べ,
増減表を作り,極値を求める。
照)。
6章
25
CHART 関数の極値
yの符号を調べる 増減表の作成
確認。
解答
けて、す0
る。
(1) ゾ=2xe-*+(x-3)(-e-*)=ー(x+1) (x-3)e-*
y=0 とするとx=-1, 3
| 増減表は右のようになる。
(1) 定義域は実数全体であり,
定義域全体で微分可能。
x
-1
3
6
0
0
よって x=3 で極大値
e3?
極大
x=-1で極小値 -2e
極小
ー2e
y
6
ー310
33
x
e3
-3
-2e
(2) ゾ=-2sinx+2sin2x=ー2sinx+4sinxcosx
=2sinx(2cos x-1)
0SxS2xの範囲でy=0 を解くと
sinx=0 から
(2倍角の公式
sin2x=2sinx cos x
x=0, π, 2π,
5
3%
よって, 増減表は次のようになる。
2cos x-1=0 から
π
X=
5
-π
3
イyの符号の決め方につい
ては,次ページ検討を参
π
x
0
π
2元
3
照。
0
0
0
極大
3
極大
3
極小
y
1
11
-3
2
2
(3) f(x)=|x\\x+3 とする
5
-πで極大値
3
したがって
x=
3
;x=π で極小値 -3
2
と lim
f(x)-f(0)
-=±/3
x-0
ズ→土0
(3) 定義域はx2-3である。
(複号同順)
20のとき, y=xVx+3 であるから,x>0では
f(x)-f(-3)
lim
xー(-3)デ
ズ→-3+0
3(x+2)
2/x+3
x
y=/x+3 +
よって,f(x) はx=0,
x=-3 で微分可能でない
が,x=0 では極小となる。
2Vx+3
ゆえに、x>0では常に
y>0
数の値の変化、 最大最小
K
圏」
中。
