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2 円の方程式
173
を調べよ
Check
例題 93
円と直線の位置関係2)
直線 y=mx-3m+1 と円 x°+y°=2 が異なる2点で交わるように,
定数 m の値の範囲を定めよ。
「考え方 直線 y=mx-3m+1 は y-1=m(x-3) と変形できるから, 定点(3, 1) を通り,傾
きが m の直線である。
(i)点と直線の距離 か (ii)判別式 を利用するとよい。
式の判別時。
解答1 直線の方程式は,
mx-yー(3m-1)=0
与えられた直線と円が異なる2点で交わるのは, 円
の中心と直線の距離dが半径より小さいときである。
円の中心は (0, 0), 半径は/2 であり,
d=-(3m-1)」
Vm'+(-1)?
13m-1l<、2
Vm'+1
13m-1|<、2/m+1
両辺はともに負でないから, 両辺を2乗して,
9m?-6m+1<2(m?+1)
7m°-6m-1<0
y
+by+c%=\
第3章
y)の距離
--13m-1|
0
+cl
Vm?+1
V2
より,
ーV2
半径「5
系を調べる。
こき
a20, b20 のとき。
aくb → aく6?
ケ
金
6
J人外 ()
ーkくaく
a=±h
0-ト
よって、
ー号くm<1
ソ=mx-3m+1
x*+y°=2
の連立方程式とみる.
解答2 直線の方程式は,
00-っこれを円の方程式 x+y%=2 に代入して,
さ6 +{mx-(3m-1)}?=2 04
展開して整理すると,
(m°+1)x°-2m(3m-1)x+(3m-1)?-2=0 ……D
円と直線が異なる2点で交わるのは, ①が異なる2つの
実数解をもつときである。-(8o( )+
つまり, ①の判別式をDとすると, D>0 のときである。
ソ=mx-(3m-1)+8
て, xにの
方程式社
yを消去してxの2
次方程式を作る.
異なる2点で交わる
-c=0
=ー
交点のx座標が2つ
『が0と
一座標
ー求める。
利用す
D
-=m"'(3m-1)?-(m?+1){(3m-1)?-2}
"ー(3m-1)?+2(m?+1)
=-7m?+6m+1
2次方程式が異なる
2つの実数解をもつ
4
ニー
したがって,
(7m+1)(m-1)<0O円
る が 平
別試
よって, -くmく1
直線 y=mx-7m+1 と円 x+y?35 が異なる2点で交わるように, 定数m
p.188[15)
練習
93の値の範囲を定めよ。
