数学、標準問題精講109です。 画像二枚目にある （ⅱ）と（ⅲ）の p=0のとき、D＞0ならば、f(x)=0は一つの実数解と二つの虚数解をもつとありますが、それはなぜですか？ （ⅰ）のときは（極大値）×（極小値）＞0であるから、一つの実数解と二つの虚数解を持つことがわかる... 続きを読む

109 方程式への応用(2) 3次方程式 +3pz+q=0 (p, qは実数)において, D=4が+q° とす るとき,この方程式の解について,次のことを示せ。 [D<0 ならば,異なる3つの実数解をもつ。 D=0 ならば,解のすべては実数解であり,重解をもつ。 ID>0 ならば, 1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。 ©Di 3次方程式 +3px+q=0 の解は 3次関数 y=r°+3px+qのグラフ をかき, z軸との共有点の状態を調べればよく, 解法のプロセス 精講 3次方程式の解の状態 極値をもつときは 3次関数のグラフをかき, エ 軸との共有点を調べる 極値の符号 を調べることにより,x軸との共有点の状態がわ かります。したがって, 本間はまず 極値をもつかどうか で場合分けをします。 y'=3(z°+か) ですから, か20 のときは極値をもたないのですが,本間の Dに対して,か>0 のときは, D=4が+>0 と 定符号ですが,p=0 のときは D=q">0 となり, Dの符号が正であったり, 0だったりしますので, p=0 は別扱いとします。 かく0 のときは極値をもち,このときは, さら に(極大値)×(極小値)の符号で場合分けするこ とになります。 f(z)を計算 極値をもつかどうか, 極値の符号はどうか で場合分けする 解答 f(z)=°+3pr+qとおく. f(z)=3.z*+3p (i)か<0 のとき, f'(x)=0 は エ=±ノ-p を解に もつ。 YA 図1 ーカ V-P 0 0 ーV-p 0 f(x)|

重解なのに固有ベクトルの値が違うのはなぜでしょうか？ また、どのような計算をしてるのでしょうか？ すみませんが、お願いします。

例題13-3 (対称行列の直 2 異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交することに注意すれば、 固有値 1,1,4に対する固有ベクトルとして, 次の ai, az, asがとれる。 直交行列にするため, 固有ベクトルの正規直交化の作業が必要となる。 その男。 「解説実対称行列は直交行列によって対角化できる。 対角化に用いる行外に 11 を直交行列により対角化せよ。 実対称行列 A= 2 1 解著固有値を求めると, 1(重解)と4 as= a= Aを対角化する直交行列 Pをつくるためにa, az a:を正規直交化する。 直交化についてはa, a:の2つだけ行えばよい。 asは正規化だけすれば十- a2-(a2, b,)b」 6,= a3 b. a」 63 により, la.l" |a2-(a2, bi)b」|' |as -1//2 1//2 -1//6 b=| -1//6 2//6 1//3 1//3 bi b。= D 0 -1//2 -1/V6 1//3 -1//6 1//3 0 2//6 . P=(b. b2 ba)=| 1/V2 1//3 100 とおくと, Pは直交行列で, P-'AP='PAP=| 0 10 004. m 須題13-3 m 解答は 実対称行列A を直交行列により対角化せよ。 2 2 1 -1 3 2 5 -2 3 -1 1

この問題についてです。何故２つのグラフが接するときはD＝0になるのですか？

65 1放物線 y=x"-4x+3 と直線 y=2x+kが接するとき, 定数kの値を求めよ。また, そのと きの接点の座標を求めよ。 a c01.g関-ー →数p.104 発展例3 不I 味 ser

この問題で、判別式はb²-4ac のことで良いのでしょうか？また、判別式を使うとどうなるのでしょうか？使う意味というか、問題全体の解き方がわからないです。 また、D＝0とするなどの意味もわからないです。 質問がざっくりとしていて申し訳ないのですが、全体的に分からないので、教... 続きを読む

3次方程式が2重解をもつ条件 3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもっように、実数の定数aの値をた 105 数とした。 いる(この めよ。 [類東北学院大] 指針>方程式 (x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また, 基本 63 印·差·積 護素数であ 芸数を係数。 こついて、 こが成り立 方程式(x+2)°(x-2)=0 の解x=-2を, この方程式の 3重解 という。 まず,方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)=0 の形に直す。 方程式が(x-a)(x°+ px+q)F0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x?+px+q=0が重解をもち, その重解は xキa [2] x+ px+q=0がαとα以外の解をもつ。 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので, 注意が必要である。 なお,[1]は,2次方程式の重解条件と似ているが、 重解がxキαである(x=aが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 2章 → 2重解は x=α 11 解答 欠式。 与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると (x°-4)a+x°-2.x?=0 (x+2)(x-2)a+x"(x-2)=0 (x-2){x°+(x+2)a}=0 (x-2)(x+ax+2a)=0 イ次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 よって, P(x) はx-2を因 数にもつ。 -qit これを利用して因数分解し てもよい。 よって x-2=0 または x°+ax+2a=0 この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] まなは[2] の場 合である。 [1] x?+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。 すし 2番り体る。 a -キ2 2·1 42次方程式 Ax°+Bx+C=0 の重解は 判別式をDとすると D=0 かつ てみよ。 D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0 とすると a=0, 8 B X=ー 2A キ2から 2.1 aキー4 a ここで, a=0, 8 はaキー4を満たす。 [2] x°+ax+2a=0の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は [2] 他の解が2でない,とい う条件を次のように考えても よい。 他の解をBとすると, 解と 係数の関係から 28=2a Bキ2から aキ2 22+a-2+2a=0 a=-1 (x-2)(x-x-2)=0 したがって ゆえに,x=2 は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 のについて aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0 … aの値を定めよ。 練習 であ 65 (1) のが2重解をもつように, (2) のが異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。 高次方程式

なんで、-1は重解にならないんですか？ 教えて欲しいです！

値と他の解を求めよ。 ふ先の大 3次方程式 x°ーx+(a-2)x+a=0 が2重解をもつとき, 定数a0) 値を求めよ。 方程式(x-a)(x°+px+q)=0 が2重解をもつ条件は [1] x+ px+q=0 が重解をもち,その重解は xキα [2] x*+ px+q=0 がαとα以外の解をもつ。 →2重解は x=a x°ーx°+(a-2)x+a=(x+1)a+x(x°-x-2) よって,方程式は この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1], [2] のどちらかの場合である。 [1] x°-2x+a=0 が-1以外の重解をもつとき 判別式をDとすると, D=0 から (x+1)(x°-2x+a)=0 (-1)-1·a=0 よって a=1 -2 このとき,重解は x=- -=1 となり, 適する。 2.1 [2] x?-2x+a=0 の解の1つが -1で, 他の解が -1でないとき -1が解であるから このとき,x?-2.x+a=0 は ゆえに,解は x=-1, 3 となり, 適する。 [1], [2] から (-1)-2·(-1)+a=0 (x+1)(x-3)=0 よって 気 太 えー12ー3-0 a=-3 01 a=1, -3 答

重解を持たない時とはどういう意味ですか。

3次方程式 x°ー(a+3)x°+9a=0 について,次の問いに答えよ。 (1) この方程式が3を2重解としてもつように, 定数aの値を定めよ。

高次方程式についてです。 ii)の部分ですが なぜ、f(x)=a（x-1)^2になっているのでしょうか？ f(x)はax^2+bx+1では無いのですか？

go, 6 を実数と し、* の方程式 ダー(g一のヶ2一(のー1)ヶ一1三0壮 T について、次の各問いに答えよ。 問1 ①が1つだけ実数解をもつための条件を ?, 5 を用いて表せ。また 問2 ①がちょうど2つの異なる実数解をもつための条件を 6。 5 を用W語 問1 ①より (*ー1)(g*?二7z十1)三0 げ(*)ニ6%2十0ァ二11-とおぐ。 i) cs0 のとき、*)ニ0 が虚数解をもてばよいから、り=が4g5 ii) ocキ0 のとき、 る0 が*ニ1 を重解としてもつとき 1 (=メー1)"ニgz2一2gz二の となるから、gニ1, 2ニー2 順) Z=ニ0 のとき、放る?ニ01=ニ0 が 実数解をもたないときは、り=0 実数解 =] をもつときは、ヵ=ニー1 以上から、①が実数解を 1 つだけ もつための条件は gキ0, 6724gく0 Z三1, のニー2 g三0, ヵ=0 g三0, ヵニー1

教えてください

2 Z は実数の定数である。 ァの 4 次方程式 (2*"二ox一 6 求めよ。 (2) (*) が実数の 3 重解をもつとき, Z の値を求めよ。また, このときの(*) の解をすべて (配点 20) 求めよ。

(1)の ｢x＝-6だから適する｣というのはどういう意味でしょうか

隊明II IO 5 、 2Z、Z 2を笑数の定数 2重角としてもつときのの, ちの値を (⑪) ァの8 次方程式 /(*⑦=ニ0 が めよ。 e 2、ァの3 淡方程式 /(*)ニ0 の1 つの解が めよょ。ただし。 7 は虚数単位とする。 6 福岡大 ]ず27 であるときのo, ちの値を末

答えの範囲の〰を引いている所がわかりません！ （ア）より－1≦aとなるならどうして3には＝がつかないんですか？ －1は含まれて3は含まれない理由がわかりません😢😢 宜しくお願いします🤲

についての 3 次方程式 ダ十⑬一2の)ア十(のゲーgオ ACtjon 3六角も胃は ます (2次 = 0 のに 解法の手順………+ | だを7G) とおき, 因数定理を用いて /(x) を因数分解する。 2 | 1 で導かれた 2 次方程式がごのような解をもつか考える。 3 | 2 の条件を満たす 。の値の範囲を求める。 天王OO プG) ニタ+ー22)デ(デー 2二1)ァーー とおくと て最低次の文字についぃて プ⑦ =〆+Q-2の〆+(の2ーg+ 2一々ニ0 革電して。 因雪分 紅 Pu 々で割り切れる。 9この がSCのoc) 軸のY .9 ゆめ 3 た方程式 /(+) = 0 は 2 5Z il9 ェーgニ0 または ダー(<-Dx+ュユニ0 …① G 0 の解であるから。 ご 0 の <Zは実数の定数である。 テー が3重解となると きである。