問題を
空間内に1辺の長さが4の正三角形があり,半径1の球の中心が
この三角形の周上を一周するとき,この球が通過する部分の体積を求
動かす」とい
めよ.
[横浜国立大〕
《解答》 正三角形を含む平面に垂直で,この平面が x = 0 となるよう
にx軸を定める. 平面 x = t (−1 ≦t≦1) による球の切り口は、半径
√1-12 (=r)の円である(図1).題意の立体 D のxによる切り口 D
は、半径rの円の中心が平面x=t内で一辺の長さが4の正三角形の辺上を
一周する (図2) ときの円の通過領域に等しい (図3). これを扇形3個,長方
形3個、正三角形から内側の正三角形を除いた部分に分割する ここで1辺
の長さが4の正三角形の内接円の半径R は, 面積に注目すると
1.42 sin 60°
=
2
2
11.R.(4+4+4)
:: R =
2√3
3
2
の正三角形との相似比は (R-r): Rであり,面積は(R-F) 3 倍になる。
よって、図4の斜線部の面積は
図4の内側の正三角形の内接円の半径は R-rになるので, 1辺の長さが4
•
1 .42 sin 60° {1 - (R=r)²)} = 12r - 3√31
12r-3√3r2
2
だから、切り口 D の面積は
r2m +4.r×3 +12r - 3√3r2 = 24+ (π-3√3) 2
= 24√1-12 + (π-3√3)(1-12)
したがって、求める体積は
dt
2/" (24√1-12 + (x-3√3×1-1³) 41
=
= 48.77 +2(−3√3). 1/1
4
407-4√3
〔第1項の積分は半径1の四分円の面積
