基礎問
45 はさみうちの原
ものとする.このとき, 次の(1), (2), (3)を示せ。
に対して,0<an<3
に対して,3-ans
(2) n=1, 2, 3, … に対して, 3-a,S()(3-a)
(3) lim an=3
1→0
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき, ま
ず,帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが,「<」→
「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3) 44のポイントの形になっています。 臭いプンプンというところでしょう。
精講
解答
(1) 0<an<3
…0 を帰納法で示す。
(i) n=1 のとき, 条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ.
(i) n=k (k>1)のとき,Q<a<3 と仮定すると, 1<ax+1<4
じゃない
2<Cu -2<ax+1<3
このクに
もってく
よって, 0<ak+1<3 が成りたつ。
(i), (i)より, すべての自然数nについて, ①は成りたつ。
(2) an+1=1+/1+an →3-an+1=2-V1+an 《まず, 左辺に3-an+1
右辺=2-V1+an)(2+/1+an)
2+/1+an
をつくると
右辺にも3-an がでて
3-an
2+1+an
くる
1</1+an<2-→3<2+\1+an<4
(1)より
4
2+/1+an
3
3-an>0 だから,
3-an
く
<号(3-a)
: 3-an+1<(3-an)