やさしい理系数学、数と論証、演習問題3番です。 解答2で整式を数列として考え、また整式に戻すときに論述が必要なのですが、なぜこのような論述になるのかがわかりません。

【解答2】 ① で x=nとすると, f(n+1)- f(n)=n(n+1). (n=0, 1,2,...) よって, n≧2 のとき, f(0) = 0 だから 別で考えと f(n)-f(0) + Ek(k+1)=(n-1)n(n+1). k=0 (f(1) = 0 だから, n=1 でも成り立つ。) Į 7. 「ここで,g(x)=f(x)-1/3 (x-x) とおくと, f(x)は整式だから g(x)も整式. よって, g(x) の次数を N とすると③より は? g(1)=g(2)=...=g(N)=g(N+1)=0. すなわち, N次式 g(x) が N+1個の相異なるxの値で g(x) = 0 だから g(x)=0 f(x)=1/12(x-x)(条件をみたし適する) 特にココ ③③ (答)

4の2、3です。2はベクトル空間ではなく3はベクトル空間らしいです。2は例えば二次式と一次式で演算する場合があるから成り立たない。3はつまり高々n次式の演算なので最大次数がずれないから成り立つ。これであってますか？

3. R" の 明せよ。 la + b²+|a-b|² = 2( | a² + | b|²) 4 次の集合V は ( )内の演算についてベクトル空間であるか. (1) V = { 2×3 行列の全体) (2) V={xの2次多項式の全体} (3) V={xのn次以下の多項式(定数も含む) の全体) ヒント (2) W = {R³) (行列の和とスカラー倍) (多項式の和と実数倍) *(4) V = {閉区間[0,1] の上で定義される連続関数の全体) IC1 (多項式の和と実数倍) 5. 次の集合 W は ( )内に示したベクトル空間 Vの部分空間であるか. (1) W={x≦0 をみたす実数xの全体} (V: 実数の全体) 1 PL 2 の (関数の和と実数倍)

赤線部分がよく分かりません。 なぜX^k+2+1/X^k+2がtの（k+2）次式だといえるのですか？ よろしくお願いします🙇‍♀️

らから 2>0 [大] PR 0123 1 t=x+₁ とおくと,すべての自然数nについて x”+- x 納法によって証明せよ。 「x+ "+11/2 はtのn次式になる」 を (A) とする。 xn [1] n=1のとき x+-=tであるからtの1次式となり, (A)は成り立つ。 はtのn次式になることを数学的帰 n=2のとき x2+1/13=(x+1)-2=1-2であるからもの2次式となり、一 (A)は成り立つ。 [2] n=k,k+1 のとき, (A) が成り立つと仮定すると 1 k+1は,それぞれ tok次式,(k + 1) 次式 +. x² +1²/²₁x² +1+ 9 xk となる。 n=k+2 のときを考えると * * *² + _ — — = = {( x ² + ¹ + _— — — ) ( x + ²))-(x^+ → ) x+2+ ={x++ k+2 k+1 xC XC 仮定から, また、{}内はもの (+2) 次式,x+ 1/12/17 はものに次式 k x 1 となり、x2+ k+2はもの (+2) 次式である。 よって, n=k+2 のときにも (A)は成り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nについて (A)は成り立つ。 □ n=k+2 の場合の式 を証明するときに, n=k+1 の場合だけで なく,n=kの場合も必 要である。 Ed {(k+1) 次式}× ( 1次式) は (+2) 次式。

写真の赤線で引いたところがなぜそうなるのかわかりません。どなたか解説おねがいします。 また、f(x)を2x+1で割って4余ると書かれていますが、これは問題の前提です。

ポイント 参考 f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る と2x+1でわりきれています. ところが, f(x) は2+1でわると 4余っているので, R(x) を2x+1でわると4余るはずです.だか ら, R(x)=a(2x+1)+4 とおけます。こうすると、使う文字が1つだけで 済みます. (a は, R(x) を2x+1でわった商を表している) この考え方は、たいへん有効な考え方なので,次の 26 で使ってみます. n次式でわったときの余りは(n-1) 次以下の整式 講習問題 25

なぜ下線のように言えるのですか？ ２枚目の計算はできるのですが、ここからどう展開するのですか？

25 剰余定理(ⅡI) 整式f(x) を2x+1, 2x-1でわったときの余りがそれぞれ 4, 6のとき, f(x) 4.²-1でわったときの余りを求めよ. 精講 24 で学んだように, わり算が実行できなくても 「剰余の定理」 を使 えば余りを求められます. しかし, この定理は1次式でわったとき の余りを対象にしたものです. この問題のように, 2次式でわった ときの余りを要求されたらどのように対処するのでしょうか. 求める余りは ax + b とおけるので f(x)=(4x2-1)Q(x) +ax+b と表せる. 解答 1-121) - 4.1(12) = 6 だから, =6 -1212a+b=4, 1/23a+b=6 よって, 求める余りは, 2x+5 ポイント 参考 ∴.a=2,b=5 MUS 43 | 2次式でわった余り は1次以下 剰余の定理 n次式でわったときの余りは (n-1) 次以下の整式 f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る と2x+1でわりきれています. ところが, f(x) は2+1でわると 1であると4余るはずです だか

問3と問4の答えを教えてください🙇

多項式の整理 1 多項式2x°y+4xy+3x°y における2つの項2.x°y, 3x°y のように,文 章 字の部分が同じ項を同類項 という。同類項を1つにまとめて 2xy+4xy+3x°y = (2+3) x"y+4xy = 5x°y+4xy のように式を簡単にすることを,多項式を整理する という。 5 問3 多項式3x°y+4xy-7x°y+5xy-4を整理せよ。 る式 整理された多項式において, 各項の次数のうち最も高いものを, その多 こそ 項式の次数といい, 次数がnの多項式を n次式という。 また,多項式の項の中で, 文字を含まない項を定数項 という。 例3 4x+xy?-2x+y+5は, 3次式で, 定数項は5である。 10 多項式を特定の文字に着目して整理することがある。このとき,着目し 10 ている文字を含まない項を定数項と考える。 4x+ xy?-2x+y+5をxに着目して整理すると 4x+(y-2)x+ (y+5) 例4 となり,xについては2次式で, 定数項は y+5である。 15 多項式x°+x°yーy+7x-4y+1について, xに着目したときの次数 と定数項を答えよ。 また, yに着目したときについても答えよ。 問4 15 数と式一

答え見ても解き方が分からないので、 教えていただきたいです。

式の る 1+ (ローx)p=(1+ *405. f(x) はxについての整式で, f(1)=0 とする。すべてのxに対して, 2f(x)-xf'(x)-1=0 が成り立つとき,f(x) を求めよ。 1418 →例題 70 lt/、 1

青線のところを教えていただきたいです。 R(k)-k=0が因数定理によってR(x)-x=(x-1)(x-2(x-3)…になる理由が分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️ (文系数学の良問プラチカ 51)

51. (1) 2の整式 P(x)を x-1 で割った余りが1, x-2 で割った余りが 2, 2-3 で割った余りが3となった。 P(x)を(z-1) (x-2)(x-3) で割った余りを求めよ。 (2) nは2以上の自然数とする。 k=1, 2, 3, …, n について, 整式 P(x)をx-k で割った余りがkとなった。 P(x)を(x-1) (x-2)(x-3)… (x-n) で割った余りを求めよ。 (神戸大)

ハテナの部分の指数の計算が、合わなく、どのように計算したかがわからないです、、教えていただきたいです🙏

4 f'(x)の入った方程式一 (は)-f(エ)3Dr+ar+bx を満たす整式f(ェ)は[(1)]次式であり, このとき, tb%=D[(2)である。 (東洋大·理工) まず次数を決める 求められないか」を考えるところである. f(z)=Az"+ (n-1次以下の式)とおいて, 次数を決定し よう、次数が決まったあとは, 各係数を未知数として方程式を立て, 具体的に係数を決めていけばよい。 ここでは誘導でf(x)の次数を問われているが, この誘導がなくても「次数を 「解答■ (1) f(x)がn次式であるとして, f(z)= Az"+(n-1次以下の式) (Aキ0) とおく、これを微分して, f'(z)=nAz"-1+(n-2次以下の式) となるので,与えられた等式について, (左辺)=r°f'(z)-f(z)=r°{nAzガー1+(n-2次以下の式)} ○(n-1次以下の式)を微分すると (n-2次以下の式)となる。 -{Az"+(n-1次以下の式)} = MAzn+1+(n次以下の式) つ最高次の項だけを追いかける。 これと(右辺)の+ ar'+ bx を比べて, 1 n+1=3, nA =1 n=2, A= 2 よって,f(z)はzの2次式である。 1 (2) f(z)=+ px+qとおく. (左辺)=rf(z)-f(z)=z°(z+p)-(+ pr+q 1 =+(カー)-加ー4 2 これと(右辺)の23+az?+bxの?, zの係数を比べて, 1 カーラー4, -カ=b 1 これよりかを消去して,-bーち=a カーー a+b= 2 2

青チャート1Aの高次方程式です。四角で囲ったところが分かりません。解説お願いいたします。

第65 3次方程式が2重解をもつ条件 例題 105 水方屋式で+(a-2)x-4a=0 が2重解をもつように, 実数の定数aの値を定 O((類東北学院大] めよ。 捜素数とした。そ っている(このこ 基本 63 方程式(x-3)(x+2)=0 の解x=3を,この方程式の 2重解 という。 また, 新武 方程式(x+2)°(x-2)=0 の解x==2を,この方程式の 3重解 という。 方程式が(x-a)(x+ px+q)=0 と分解されたなら,2重解をもつ条件は ロ%3Dx [1] x°+px+q=0が重解をもち,その重解は xキα 121 x+ px+q=0がαとa以外の解をもつ。 →2重解は x=α 2章 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである(x=aが3重解で 11 女の和·差·積、 三た複素数である 複素数を係数と 式について, 割 等式が成り立つ。 高 はない)ことを必ず確認するように。 の 次 方 程 式 えられた3次方程式の左辺をa について整理すると 次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 n次式。 さ立 ース) 8 (x-4)a+x°-2x=0 (x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0 (x-2)(x°+(x+2)a}=0 (x-2)(x+ax+2a)=0 x-2=0 またはx°+ax+2a=0 ー よって, P(x) はx-2を因 数にもつ。 これを利用して因数分解し 天爪 p-giも よって てもよい。一 0-3+88- この3次方程式が2重解をもつのは,次の[1] または [2] の場 に対し 合である。 D+ax+2a=0 がxキ2の重解をもつ。 利別式をDとすると a キ2 2-1 (2次方程式 D=0 かつ めてみよ。 Ax?+Bx+C=0 の重解は D=d-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とするとa=0, 8 (-)B】 (1-)(1 2A)(1-) X=ー a ここで, -+2 から aキー4 2-1 =0, 8はaキー4を満たす。 |+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は したがって 8-キ1-0 )-ネー= [2] 他の解が2でない,とい う条件を次のように考えても よい。 に分け+ 7 他の解を8とすると, 解と 係数の関係から 28=2a Bキ2から aキ2 て 22+a-2+2a=0 10 a=-1 (x-2)(x?-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 等式の花 えに,x=2は2重解である。 以上から 0が得しれる 星であ a=-1, 0, 8 aを実数の定数とする。3次方程式x°+(a+1)x-a=0 ( 50のが2重解をもつように, aの値を定めよ。 …… 1 について い。 11が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。