無問 135 格子点の個数
I, y, z を整数とするとき, ry平面上の点(x,y) を2次元格子点, TYz 空
間内の点(x,y,z) を3次元格子点という.m,nを0以上の整数とすると
き,次の問いに答えよ.
(1) 2012/21/ysm をみたす 2次元格子点(x,y) の総数
+
を求めよ.
(2) x0,y0,z≧0かつ 1/3+1/13y+zan をみたす 3次元格子点
(x,y,z) の総数を求めよ.
(名古屋市立大 )
・精講
(1) 格子点をどう数えるかが問題で
す。研究でx=(一定) となる直
線上の格子点を順次数えてみましたが, 大変です.
そこで合同な三角形を付け足して長方形にしてみ
たらどうでしょう.
(2) z=(一定)となる平面による切り口を考え
ると (1) が利用できます。
〈解答
(1) 0(0,0),A(3m, 0), B(3m, 5m),C(0, 5m) とおくと, 与えられた領域は
△OACの周および内部である.
△OAC≡△BCA であり,線分 AC 上には
(0, 5m), (3, 5(m−1)), (6, 5(m-2)), ···, (3m, 0)
のm+1個の格子点がある.
=1/12 (15)
1
(2) ²/3x+//y+z<n & {√x+} {y≤n-z
求める2次元格子点の総数Sは, 長方形 OABC の周および
内部にある2次元格子点の総数を T, 対角線AC上の2次元格
子点の総数をLとおくと
0
S=1/12(T_L)+L=1/12(3m+1)(5m+1)-(m+1)}+(m+1)
-(15m²+9m+2)
解法のプロセス
(1) 三角形内の格子点の総数
↓
長方形を考える
(2) z=(一定) 平面による切
り口を考える
と変形する.
z(z=n,n-1, n-2, ..., 0) を固定し,
303
3n
x
n
y+
5mm
0
-n-m
B
3m
HA
IC
5n
第8章