なぜここでは2通りで場合分けするのですか？

|整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。 対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」 ということを,どのような式で表すかがポイ。 基本 例題56 対偶を利用した証明 (1) 整数nの平方が3の倍数ならば, n は3の倍数であることを証明せト OO00 で面倒である。そこで, 対偶を利用した(間接)証明 を考える。 対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを, どのような式で表すかがさ。 トとなるが,これは次のように表す(検討参照)。 n=3k+1[3 で割った余りが1], なお,命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め,結論を導く証。 を直接証明法 という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように,仮定か 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 n=3k+2 [3 で割った余りが2] 解答 与えられた命題の対偶は ロ 「nが3の倍数でないならば, n°は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, ○直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) る のトお合S n=3k+1 または n=3k+2 るさケ焼 ( と表される。 [1] n=3k+1のとき n°=(3k+1)=9k°+6k+1 =3(3k°+2k)+1 3k+2kは整数であるから, n' は3の倍数ではない。 O ケ 43×(整数)+1の形の数に 3で割った余りが1の数 | 3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき n°=(3k+2)=9k°+12k+4 =3(3k°+4k+1)+1 3k2+4k+1 は整数であるから, n'は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって,与えられた命題も真である。 Kpl 検討)整数の表し方

解答では背理法を使っているのですが、この証明方法でも大丈夫でしょうか？

117 次の等式を満たす有理数 p, qの値を求めよ。 第2章 集合と命題 29* 113 実数 x が正の無理数であるとき, /x は無理数であることを証明せよ。 STEPくB 例題 13 nは整数とする。次の命題を証明せよ。 n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(kは整数)のいずれかの 形で表される。 対偶「nが3の倍数でないならば, n° は3の倍数でない」 を証明する。 nが3の倍数でないとき, nはある整数えを用いて 3k+1, 3k+2のいずれかで表さ 指針 解答 れる。 こ de [1] n=3k+1のとき n=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9°+9k°+3k)+1 9°+9k°+3kは整数であるから,n°は3の倍数でない。 12」 n=3k+2 のとき ケ効半ふ 変 n°=(3k+2)°=27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k?+12k+2)+2 9°+18k°+12k+2は整数であるから, n° は3の倍数でない。 よって,対偶は真である。したがって,もとの命題は真である。終 114 m, n は整数とする。次の命題を証明せよ。 (1) n?が5の倍数ならば, nは5の倍数である。 *(2) mn が3の倍数ならば, m, nの少なくとも一方は3の倍数である。 115 V6 が無理数であることを用いて,V3-V2 は無理数であることを証明せ 太関 よ。 T16 p, gが有理数,Xが無理数で, か+qX=0 であるならば, カ=q=0 であるこ とを証明せよ。 =1 1)0ta?=2+V2 2-1

赤の点線の部分に書いてあるように何故矛盾してるといえるのですか？

CHART 互いに素であることの証明 a+bと ab が互いに素でない,すなわちa+bと abはある素 自然数 a, bに対して、 a とbが互いに素ならば, a+bと abは互いに素であるこ そこで,背理法 (間接証明法)を利用する。 →atbと abが互いに素でない, すなわち 基本 例題I13 互いに素に関する証明問題(2) 481 とを証明せよ。 p.476 基本事項 2] とab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 重要114 4 11 が素数pの倍数であるとき, mまたは n はpの倍数である。 1 最大公約数が1を導く 2 背理理法 (間接証明法)の利用 いはaの様 解答 数りを公約数にもつと仮定すると atb=pk … と表される。 のから, aまたはbはかの倍数である。 合 がわの倍数であるとき, a=pm となる自然数 mがある。 このとき,①からb=pk-a=pk- pm=p(k-m) となり、 nとnが互いに素でない 0, ab=pl … 2(k,1は自然数) →mとnが素数を公約 数にもつ R-m は整数。 bもかの倍数である。 nこれはaとbが互いに素であることに矛盾している。 1は30倍 北がって、 Aa= pk-b =が(R-m') そ 自の(m'は整数) bがかの倍数であるときも,同様にしてaはかの倍数であり, 表きれるから aともが互いに素であることに矛盾する。 リ=2m したがって, a+bと abは互いに素である。 mt1は互い す の時数であ

どこが矛盾してますか？

基本 例題|13 互いに素に関する証明問題 (2) 自然数 a, bに対して,aとbが互いに素ならば, a+bと abは互いに素であるこ OOOO0 とを証明せよ。 p.476 基本事項 2 指針>a+bと ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 重要114 背理法(間接証明法)を利用する。→atbと abが互いに素でない。すなわち よんと ab はある素数かを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 お 次の素数の性質も利用する。ただし,m, nは整数である。 mn が素数pの倍数であるとき, mまたは nはかの倍数である。 1 最大公約数が1を導く 2 背理法 (間接証明法)の利用 CHART 互いに素であることの証明 解答 +bと ab が互いに素でない,すなわちa+bと abはある素 数かを公約数にもつと仮定すると a+b=pk …… 0, ab= pl …… 2(k, 1は自然数) mとnが互いに素でない →mとnが素数を公約 数にもつ ケ健 と表される。 のから, aまたはbはかの倍数である。 aがかの倍数であるとき, a=pm となる自然数 m がある。 このとき,①から b=pk-a=pkー pm=Dp(k-m)となり, bもかの倍数である。 『これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがかの倍数であるときも,同様にしてaはかの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+bと abは互いに素である。 k-m は整数。 4a=pk-b =が(k-m) (m'は整数)

ある素数p、としてますが合成数を公約数に持ってはダメなのですか？

基本 例題I13 互いに素に関する証明問題(2) |自然数 a, bに対して,aとbが互いに素ならば, a+bとabは互いに素であるこ 481 とを証明せよ。 あ p.476 基本事項 2 重要114 指針>a+bとab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。→a+bと abが互いに素でない,すなわち atbと abはある素数かを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。ただし, m, nは整数である。 4章 17 をmn が素数pの倍数であるとき, mまたはnはpの倍数である。 Opd 1 最大公約数が1を導く 2 背理法(間接証明法)の利用 CHART 互いに素であることの証明 よケ 音 解答 | る a+bと ab が互いに素でない,すなわちa+6と abはある素 数かを公約数にもつと仮定すると 合量a+6=pk … mとnが互いに素でない →mとnが素数を公約 数にもつ の, ab=pl …② (k, 1は自然数) と表される。 き お のから,aまたはbはかの倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pm となる自然数mがある。 このとき,① から b=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, bもかの倍数である。 これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがかの倍数であるときも,同様にしてaはpの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+bと abは互いに素である。 R-m は整数。 音数 Aa=pk-b | =が(R-m') でO 自 (m' は整数) まないる ()- ら、 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

(2)の対偶がa,b,cのうちすべて奇数か偶数であるならば...となるのはなぜですか??

人る 一 32)(3/+2)ニ3(3gコ 2十27十1) - Be/十2ん十27十1 は整数であるから,o5 は3の本 |4| により, 対偶は真である。 編がって, 与えられた命題は真である。 語王 問接証明法を使う見極め方 還接i (対偽を利用した証明, 背理法) が有効かどうかは, 命題の 結論から見極める とよい。 に. 結語が次のような場合は, 間接証明法を検討するとよい。 り』「⑯ または 田]」、「少なくとも1つは今| …… 「倫 かつ 田] などの条件から出発できる。 対但を考えることにより, 次の命題を証明せよ。ただじ) 6 98 | (1) のだ十c2 が個数ならば, 6, 5。 cのうち少くES2ぱ| (2) ZZ上2十c2一5一5c一6 が奇数ならば, 5 clのうらち たは 2 個である。

同じじゃないんですけど、どうやったら同じに見えるんですか？ (2)

ヵは整数とうる< の 。の代数でないとき。宮を3 4 ルーの ならば の, で割った余りを求めよ。 | 6のうち 負なくとも 1つは3 の倍数であること | み せよ | | ス**s ーー x@層ororron 重明 |しにくい問題は間接証明法で 員 対偶を証明する 本 背理を利用する に。 のような「少なくとも 1 つ」 の証明に 条 MP CofwkczとELて 0 避 をの共 (!) の結果を利用するために。 両辺をそれぞれ3で割ったときの余りにつ 馬きま ド iCる [琶W]() ヵが3の悦数で 請訪Hakでないとき、 7は季ん4 は各数をを用いて 3を1 または 3ん2 ないとき, ょを整数とし きれる。 て ヵ=3圭1 と表される。 則73% 1 のとき はます だ 本 だ=(3&エ1* 記=(&1)"ー9だ十6を1一3(3が 十2)二1 =3692)11 734+2 のとき (号賠所 。志@k+2)王9だ十12を填4三 デ3(3だ4を1)よ1 よって, が を3で割った って, 郊を3で割った余りは1である< 5夫か4 : ふと仮定する の () により, の がを3で割った余りはともに1で 6か6、+が を3で割った余りは11ご Teの で和の余りの人性質1 ……① | の4多 数のとき, "も 3の倍数であり, ないとき, c” を3 で割ると1 奈る。 は1である。 ⑨

119番の、(2)の解説中にある、 複合同順(2つ以上の複合が使われている時、複合は上から同じ順序に使う) は、証明するのに必ず必要ですか？ また、別証に記載されているのは、背理法ではないのならば、何と言う証明方法なのでしょう…？ よろしくおねがいします！

4 119' ヵを正の整数として次の命題を考える。 「2二22 が3 の倍数でない = (は3の倍数でない または ヵは 3の倍数である) この命題の対偶を述べよ。 この命題が備であることを示せ。 (広島市立大 <

間接証明法(対偶証明法や背理法など)は直接求めにくい時に使うって書いてるのですが、どうすれば それを使うのが分かるのですか？その見極めか方を教えてください🙇‍♂️