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重要 例題 17 1の5乗根の利用
複素数α (1) を1の5乗根とする。
1
1
(1) Q²+α+1+ + = 0 であることを示せ。
a Q²
(2) (1) を利用して、 t=a+αはf +t-1 = 0 を満たすことを示せ。
(3) (2) を利用して,
2
cos 1/3 πの値を求めよ。
2
(4)=cos/artising ” とするとき, (1-æ) (1-²)(1-ω°) (1−ω^)=5である
ことを示せ。
2
指針> (1) αは1の5乗根
α=11(a-1)(a^+α+α²+α+1)=0
(2) Q°=1から,|a|=1 すなわちα=1が導かれるから、かくれた条件=1
を利用
α
2
(3) α=cos/atisin=²とすると, は1の5乗根の1つ。t=α+αを考え (2)の
解答
(1) α=1から (a-1)(a+a³+²+a+1)=0
α*1 であるから a¹ + a²³+a²+a+1=0
両辺をα2 (≠0) で割ると a²+a+1+
よって
(2) α=1から |a|³=1
ゆえに
ゆえに
a=1 すなわち ad=1
f+t-1=(a+a)^+(a+α)-1(__
=a²+a+2aa-1+(a)²+a
=°+α+2-1+1+1=0
果を利用する。
(4) α=1 を利用して, a^(k=1, 2,345) が方程式2=1の異なる5個の解であ.
ことを示す。 これが示されるとき, 2-1= (z-a)(z-α2)(z-α3) (z-o^) (z-ds)が
り立つことを利用する。
L (1-a) (1-0²2) (1²) (1-α)に似た形
2
2
a=cos-a-isin π
5
ff1-1=0の解は②
1
a
2
t>0であるからt=2cos π===
5
+
|a|=1
よっa=1
a
Q² =0
a
このとき
2
よって,=a+αとすると2cos/であり, (2) から
■2+t-1=0が満たされる。
-1+√5
2
1がついてる
から成り立つ!
0000
(1)~(3) 金沢大)
<α~1=0
一般に
2
_3) α=cos-ntisin=”とすると, は α = 1,α=1を満たす。cosisin=
5
- 1± √/1²-4·1· (-1) = -1 + √5 -
2
2
ゆえに COS
・基本 15
2"-1
=(2-1)(zl+z^2+..+
[nは自然数] が成り立つ
この恒等式は、 初項1.
2, 項数nの等比数列の
を考えることで導かれる
◄(a+a)²
2
=a²+2αa+(a)²
(1) の結果を利用。
=
<a+α=2x(αの実部
とを通り
表して
√√5-1
4
