（3）実数解の個数の求め方が分からないので教えて欲しいです

250 P.193² 重要 例題 167 対数方程式の解の存在条件 の方程式 40g(x2+√2)}-210g2(x+√2)+α=0 次の問いに答えよ。 ただし, aは定数とする。 CHART (1) 10g2(x2+√2) のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) ① が実数解をもつとき, αの値の範囲を求めよ。 TUC (3) αが (2)で求めた範囲の値をとるとき, ① の実数解の個数を求めよ。 [126] OLUTION 「解答」 (1) x2+√/2≧√2であるから よって log₂ (x²+√√2) ²-1/2 (2) 10g2 (x2+√2)=tとおくと、①から1+2t=a また, (1) の結果から 12/12/20 曲線 y=-2+2(12/1/2) 200 と直線y=a..... ・③の共有点が存在 するための条件から,αの値の範囲は a≤1 127318132) 対数方程式の解の問題 おき換え [10g(x2+√2)=t]でtの方程式へ 変域に注意 (2) 10gz(x2+√2)=tとおくと, ① から -f2+2t=a (3) (2) のについて、x2+√2=2'を 満たすxの個数は この2次方程式が (1) の範囲内で解をもつ条件を考える→グラフを利用 (3) x2 = 0 となるtの値に対して,xの値は1個(x=0) x>0 となるtの値に対して, xの値は2個あることに注意。 t=1/2のとき x=0の1個, 4 10g(x2+√2) 10g2√2 <a < 1 のとき 4個 YA |1 3 4 a! 10100000 ①について 0 /1 1 2 I 1 2 1 のとき x>0 であるから2個 2 よって、②,③のグラフの共有点から,①の解の個数は a<2,a=1のとき 2個;a=! のとき 3個; 2 基本 159 (3) ←log2√2= 1 2 等号は x=0のとき成立。 ←-t2+2t 重要 例題 8について ただし, 10 =-(t-1)2+1 CHART C 自然数 3 a= i=2のときに1 4 から から1個 11/2 2個の合計3個。 ―の 最高 (ア) 8 (イ) 解答 (ア) 81 82 L PRACTICE･･･・･ 1675 x に関する方程式 10g2x-10g4 (2x+α) =1が,相異なる2つ 実数解をもつための実数aの値の範囲を求めよ。 よって, 44=4x (イ) 10gic ここて 10 1 から よっ ゆえ すな した PR 1

(3)について なぜ解の個数が3個や4個のようになるのですか？ グラフの共有点が解の個数だと思ったのですが、どう見ても共有点は最大で2つしかないと思うのですが… どう考えたらいいのでしょうか？

250 重要 例題 167 対数方程式の解の存在条件 x の方程式{10g(x2+√2)}2-210g(x2+√2)+α=0 次の問いに答えよ。ただし,α は定数とする。 (1) log2(x2+√2) のとりうる値の範囲を求めよ。 TRAN (2) ① が実数解をもつとき, αの値の範囲を求めよ。 TULO (3) αが (2)で求めた範囲の値をとるとき, ① の実数解の個数を求めよ。 CHART OLUTION 対数方程式の解の問題 2730 おき換え [10g(x2+√2)=t] でtの方程式へ 変域に注意 (2) 10g(x2+√2)=tとおくと ① から -f2+2t=a この2次方程式が(1) の範囲内で解をもつ条件を考える→ (3) x2=0 となるtの値に対して,xの値は1個(x=0) x>0 となるtの値に対して、xの値は2個あることに注意。 解答 (1) x2+√2≧√2 であるから よって10g(x+√2) 2012/2 (2) 10g(x2+√2)=tとおくと, ① からf2+2t=α X- 12/12/12 また, (1) の結果から 曲線 y=-f2+2tt≧ = 1/-)₁ (2) と直線y=a･･・ ③ の共有点が存在 するための条件から, αの値の範囲は a≦1 (2)について, x2+√2=2' を 満たすxの個数は t= のとき x=0 の1個, 2 3 log(x2+√2)≧log2√2 ya <a<1のとき 4個 4 3 4 t> のときx>0 であるから2個 |1 !! a 1 1 ★ 2018= 10 1 2 ! H I 1 2 よって,②,③のグラフの共有点から、①の解の個数は 3 3 a<- α=1のとき 2個;a=- 4' ...... 2 のとき 3個; 00000 ①について、 (3) t 基本 159 グラフを利用 114 1og2√2 = 1/2 等号はx=0 のとき成立。 26387 (31 16 - t²+2t =-(t-1)2+1 (X) $1 X5 S-X ←a= 3 =2のとき、1/12 から1個,t/1/2から t> 2個の合計3個。 PRACTICE... 167③ x に関する方程式 10g2x-log4 (2x+α) = 1 が, 相異なる2つの aarom 実数解をもつための実数aの値の範囲を求めよ。 (龍谷大 例 K 844 につ ただし、 CHART ES (イ 解答 (ア) 81, よって 44=4 (イ) 10g ここ LATIH から よっ ゆえ すな した PRE 10. (1 (2

解の存在条件の問題です。 最後どうしてx=-4になるのかが分かりません。 解説お願いします！

(1) 実数についての連立不等式の解が存在するような整数のうち 最大のものを求めよ。 2x+1≧6 { 4-3x z k 2x+1≧6 x = 1/5/20 ? 5. ① 解が存在するには、 MIN 5 2 VII 15 ≦ 4-3x≧k 4-k x = 3 の共通範囲が存在すればいいから、 3 8-2k 17 - 2 ² k 2 これを満たす整数kのうち、最大のものは 2 = 4-k 3 4

三角関数 線で引いたところは何を表しているのでしょうか？

x 224 00000 重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件 [同志社大] 0 の方程式 sin'0+acos0-2a-1=0 を満たす 0 があるような定数αの値の範 囲を求めよ。 指針▷ まず, 1種類の三角関数で表す - ① (1−x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0 ...... よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつ ことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 解答 COS0=xとおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は (1−x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0… ① この左辺をf(x) とすると,求める条件は, 方程式f(x)=0が -1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。 これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の [1] ま たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。 ① [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲でx軸と異なる2 点で交わる, または接する。 このための条件は,① の判別式をDとすると D≧0 D=(-α)²-4・2a=a(α-8) であるから a(a-8) ≥0 よって a≤0, 8≤a (2) 軸x=1/27 について-1<<1から 2<a<2: …..... cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は 1 a>-- 3 f(-1)=1+3a> 0 から f(1)=1+a>0 から ②~⑤の共通範囲を求めて □ [2] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ1点 で交わり、他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。 このための条件は f(-1)(1)<0 ゆえに (3a+1)(a+1) < 0 よって-1<a<- <-1/313 ① [3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1 またはx=1で交わる。 1 f(-1) = 0 またはf( 1 ) = 0 から a=- または α=-1 3 [1] [2] [3] を合わせて -1≤a≤0 [参考] [2]と[3] をまとめて, f(-1)(1)≧0としてもよい。 a>-1 -<a≤0 基本10 検討 x2ax+2a=0 をαについ て整理すると x² = a (x-2) よって, 放物線y=x2と直線 y=a(x-2)の共有点のx座 標が-1≦x≦1の範囲にあ る条件を考えてもよい。 解答 p.139 を参照。 [1] + + YA H O + 1 [2] WA 1 X yA NA 1

143です。解説にそれぞれの1次不定方程式の整数解が書いてありますが、これは自分で思いつくしかないのでしょうか？それとも求める方法があるのですか？教えていただきたいです🙇‍♂️

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 判断力 次のO~0の1次不定方程式のうち,整数解 (x, y) が存在しないものを1 つ選べ。 「ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 481x+407y=1 0 481x+407y=37

求める条件がなぜ少なくとも1つの解を持つことになるのかが分からないので教えてほしいです！

0の方程式2cos'0+2ksin0+k-5=0 を満たす@があるような定数kの値の範 224 は定数とで えよ。 ただ w この方 重要 例題143 三角方程式の解の存在条件 a 囲を求めよ。 [同志社大) 基本 140 指針> まず,1種類の三角関数で表す この方 計> cos 0- 前ペー の (1-x°)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 ……… ① ことと同じである。次の CHART に従って,考えてみよう。 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 を 辺に後 線yー ,直 解答 cos 0=x とおくと,-1<xS1であり, 方程式は (1-x)+ax-2a-1=0 すなわち xーax++2a=0… ① この左辺をf(x)とすると, 求める条件は,方程式f(x)=0 がて整理すると -1Sx<1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。 これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について, 次の [1] ま たは [2] または[3] が成り立つことと同じである。 『 [1] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸と異なる2る条件を考えてもよい。解営式は 点で交わる。または接する。 このための条件は, ① の判別式をDとすると D=(-a)?-4-2a=a(a-8)であるから 検討 x?-ax+2a=0をaについ x°-a(x-2) よって,放物線y=x° と直線 ソ=a(x-2)の共有点のx座 標が -1<xS1の範囲にあ 「答 0s0=x と 編p.139 を参照。 D20 したがって a(a-8)20 )=x°+ よって as0, 8Sa 2 軸x=; について -1<号<1から -2<a<2 求める グラフと a 3 o -1 レ1 2 x f(-1)=1+3a>0から 央中 f(1)=1+a>0 1 4) よって, 3 4 || 関数 求める から a>-1 5) 2~6の共通範囲を求めて 1 <as0 3 -1 [2] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸とただ1点 で交わり,他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。 このための条件は Neo a 1 12) a ゆえに(3a+1)(a+1)<0 1 よって -1<a<- 13] 3 の [3] 放物線y=f(x) がx軸とx=-1 またはx=1で交わる。 f(-1)=0 または f(1)=0 から 00 -1 1 または a=-1 a=ー 3 -1SaS0 れる [1], [2], [3] を合わせて 参 [2] と [3] をまとめて, f(-1)f(1)<0としてもよい。 練習 143 囲を求めよ。 の 1441 ア ー 回

解き方を見てもよく分かりませんでした… どのように考えれば良いのか教えて頂きたいです。

例題 5 連立1次不等式の解 2x+126 (1) 実数xについての連立不等式 の解が存在するような整数kのうち, 最大の 4-3x2k ものを求めよ。 【千葉工大) 5 (2) 1-x<4x+7<x+3a を満たす整数xが1つだけになるような整数aの値を求めよ。 【摂南大) 連立不等式の解は,それぞれの不等式の解の共通範囲。 (1) 解の存在条件- (2) 整数解の個数 考え方 共通範囲が存在する条件から, 定数kについての不等式を導く。 共通範囲に整数が1つだけ含まれる条件から, 定数aについての不等式を導く。 解答 5 x2 2 4-k xS- 3 (1) 2x+126 から 4-3x之k から 2 0, 2を同時に満たす実数xが存在するための条件は 5 4-k 7 よって RS- 2 2 3 5 2 4-k 3 これを満たす整数えのうち, 最大のものは k=-4 圏 6 7 xSaー 3 (2) 1-x<4x+7 から の 4x+7Sx+3aから ーミx 0, 2を同時に満たす整数xが1つだけになるための条件は 4 よってSaく e 7 -1Saー <0 3 6 -1 5 70 a- 3 x これを満たす整数aは a=2 答 章 練習 (1) 2つの不等式 2x+3>5-3a, -10x+11>3+13a を同時に満たすxが存在するような 定数aの値の範囲を求めよ。 【大阪商大) 5 -<4xSx+n を満たすxの範囲に整数がちょうど2個存在するような整 3 -章 2x+25 (2) 不等式 [金沢工大) 章 数nの最大値を求めよ。 章

二つの方程式が 平行かつ一致しない→解は存在しない 平行かつ一致する→解は無数に存在する ことは知っているんですけど、なぜ画像の解答でも解けるんですか？

9 連立1次方程式/連立方程式の解の存在条件 J(a-2)ェ+4ay=-1 12-(3a+1)y=a aを実数の定数として,次のz, yについての連立方程式を考える。 ]のとき, この連立方程式の解は存在しない。 のとき, この連立方程式の解は無数に存在する (麗導大) a= a= 等式の条件式が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するの が原則的な手法である.z, yの連立1次方程式の場合, 例えば一方の式からェをyで表して, 他方の式 に代入するとyの1次方程式に帰着できる。 xの方程式 pr=qの解 等式の条件の扱い方 pキ0のときェ=9 p' p=0かつq=0 のときェは任意,か=0かつ qキ0のとき解なし ■解答 X JCa-2)ェ+4ay=-1 1ェ-(3a+1)y=a であり,②により, =(3a+1)y+a (a-2){(3a+1)y+a}+4ay=-1 :(3a?-a-2)y=-α'+2a-1 (a-1)(3a+2)y=ー(a-1)? yの方程式④の解yに対して, ③によりェがただ1つ定まり,連立方程式①か 3をのに代入して, ④ ←方程式の解が存在する·存在し- いをとらえるには, 実際に求め うと考えればよい. yを求める ら,の式を導くところ。 つ2の解(z, y)がただ1つ定まる。 トェリーマ よって,連立方程式の解が「存在しない·無数に存在する」条件は, ④の解が 「存在しない·無数に存在する」ことと同値である. よって,④から (a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?+0, つまり a=-;のとき解なし. 3 (a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?=0, つまり a=1のとき解は無数。 今注 連立1次方程式の解の存在条件を座標平面で考える方法もある。 Jaz+ by=e…の lcz+ dy=f…@ I(c, d)#(0, 0)/ コ本間の場合,次のようになる。 のと②が平行(一致も含む)で るための条件は, (a, b)キ(0, 0)) 一般に, を考えてみよう。2y平面上で⑦, のは直線を表す.のとのが交われば,その交 点の座標が連立方程式の解である.したがって, ●解が存在しないということは, 直線のとのが共有点をもたない,つまりのとの が平行で一致しないことと同値。 ●解が無数に存在するということは,直線のとのが一致することと同値 ーということになる。 直線のとのが平行である(一致も含む)ための条件は, (a-2):4a=1:{-(3a+1)} …-(a-2)(3a+1)-4a=0 . 3a-a-2=0 2 a=ー 1 3' これらのときのの, ②を求め, 致するかどうか調べる(a=10 ときのみ一致する). a:b=c:d(→ ad- bc=0)

整数の問題なんですが、自力で解を見つけなくてはならないのですか？ 解説お願いします🤲

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 次の0~0の1次不定方程式のうち, 判断力 整数解(x, y)が存在しないものを1 つ選べ。ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 0 481x+407y=1 3 481x+407y=37

（ァ）についてです。なぜ－1＋5/Kが1/2よりも小さくなる場合は考えないのですか？

10 1次不等式/解の存在条件,整数解の個数 (ア)k>0を実数とするとき, 2つの不等式 |2.r-3|<2, |kx=5|<んを同時に満たす実数ェが存 在するようなんの値の範囲は, k> である。 (東京経大) 18 (イ)不等式 ェーく を満たす整数 の個数は 7 ]である.正の数aに対して,不等式 <aを満たす整数ェの個数が4であるとき,aのとりうる値の範囲は コである。 (京都産大·理,工,コンピュータ理工(推薦)) 不等式の解の存在条件 a<zく6を満たすェが存在する条件はaくbである。 また,aくbかつc<dのとき, a<zくbかつc<x<d を満たすェが存在する条件は, a<dかつc<bである。 数直線を活用する 書いて考えると明快である.答えの範囲で端点が入るかど うか(範囲がくかくか)を間違えやすいので, 十分注意を払おう。 a<dだけだとダメ a<dかつc<もならOK (イ)のような問題では,数直線を a bc d a c 6 d ■解答 (ア) |2.c-3|<2のとき, -2<2.z-3<2 2 2 5 5。 |kr-5|<kのとき, -kくkx-5<ん. k>0により,-1+-く»<1+ (5 k 1 k>0から,く1+ に注意すると, ①と②を同時に満たす:が存在する条件は, 5 10 k> 7 5-7 2 5 く k 5 2 2 k 2 5 k 5 、 (-1+号-OK I-1+-ダメ o」 2 18 16 20 k 10 19