垂心は,3頂点から対辺に下ろした3本の垂線の交点である.
2本の垂線で垂心が定まるから、2つの垂直条件を確認すれば十分であり, 当然 (内積) = 0 を示す.
基準点を外心0に統一して展開し, |OA|=|OB|=|OC| を利用すればよい.
d = 1, 6 = 1 という前提条件の下で,
が成り立つ.
10」
AH = 0, B = 0, BC ¥1, CA ¥ を確認した上で, AH I BC, BHI CA とする必要がある.
キ
BC, CA は三角形の辺であるから, BC = 0, CA ≠ 0 は明らかである.
しかし, 直角三角形のとき,垂心 H
は三角形の頂点と一致する.
例えば,∠A=90°のとき AH = であるから、安易に AH ≠ 0 とはできない.
A, B, C のどれを直角としても一般性を失わないので, ∠C=90°として考える.
このとき,垂心Hは C と一致し、 結局 AH = AC ¥1, BH BC キとできる.
=
外心を始点にすると垂心の位置ベクトルが OH = OA + OB + OC
このとき,0は外心であって任意の点ではないので注意してほしい.
となることは覚えておきたい.