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練習
Step Up 310 第5章 指数関数と対
章末問題
173
(1)x1,y1xy'=8 のとき (10gsx) (logy) の最大値と
(2) αは定数で, a>1 とする. ax +y=2a のとき, 10gax +1oga(x+y) の最大値を求
めよ.また,そのときのx,yの値を求めよ.
(1)xy=8より、底2で両辺の対数をとると,
logzxy=log8
log2x+210gy=3
logzx=X, logy=Y とおくと, x1,y≧1より,
より、
X=logxlog1=0
Y=logxylog1=0
log2x+2logy = X +2Y=3
Y=3-X20
2
したがって, 0≤x≤3
(logzx)
(logy)
=XY
=X.3x
底が1より大きいので、不
号の向きは真数の大小と一致
(gol-1)=
00-1)=
0123 OF
==
9
8
0≦X≦3 のとき, グラフは
XYA
最大
8
最小
01 S=x.gol
O
3
3X
2
最小
X=212 のとき,log:x=2/2
03
右の図のようになる.
よって,
最大値,最小値 0
'8'
(2) 真数条件より, x>0,x+y>0
ax+y=2a より,y=2a-ax だから,
3
x=21=2√2
BY=2のとき,logzy="
x+y=x+(2a-ax)=2a-(a-1)x>0
より,y=24=18
このようにして,x,yの値
5
2a
α>1より, x<
a-1
2a
したがって, 0<x<-
......
…①
a-l
を求めることができる.
Ka-1>0
また, logax +1oga(x+y= logax (x+y)...... ②
x(x+y)=x{x+(2a-ax)}= (1-a)x2+2ax
まずはx(x+y) の最大値を
求める.ol
-(1-a)(x-a
+(x
a²
・3
a-l
a-1>0
2a
1-a<0, 0<<
だから, ①における
a-1
x(x+y) の最大値は,
a
a-1
したがって, logax(x + y) の最大値は, loga-1
よって、②より, 10gax +loga(x+y) の最大値は,
a²
a²
10ga
a-l
このとき,③より
a
x=-
a-l
y=2a-ax であるから,
底αが1より大きいので,真
数x(x+y)が最大のとき,
10gax (x+y) の値も最大と
なる.
gol
ol
a²
y=2a-
a-l