微分を使う問題ですが 聞きたいのはそこではなくて 水色で丸をしているところと下線部のところです 初手でつまずいてます(> <;) 調べたんですけど結局分からなくて聞きます！ なぜS=1/2･2πr･l になるのかと そこからなぜπrlになったのかを教えてください

練習 半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大になるものに対し, その高さ, 底面の半径。 ©212 および側面積を求めよ。 (中央大) の 直円錐の高さをhとすると また,直円錐の底面の円の半径をr、母線の長さを1,側面積を Sとする。 +h-1f=1であるから 0<h<2 そh-1f=(h-1)? そ0<h<2であるから 2h-h°=h(2-h)>0 ア=/2h-h? 2 =h?+r?であるから 1=2h 3 ゆえに S=πrl=πV4h?-2h° |-S=;2r1 1 よって S=r(4h°-2h) ds? -=x"(8h-6h°)=2z°h(4-3h) そ無理式で表された関数 の微分は、数学IⅢを学習 しないと無理。そこで、 S>0であることに着目 し,S' を考える。 S?をhで微分すると dh 2元h(4-3h)=0とすると, ① の範囲では 4 h= 3 ゆえに,① の範囲における S° の増減表は右のようになる。 4 h 0 2 3 ds? 4 よって, S° はh==のとき極 0 dh S? *極大 大かつ最大となる。 S>0であるから, S°が最大となるときSも最大となる。 2/2 4 h 寺のとき, ② から r3 「3 ③から 1= 3 2/6 D 3

極限が求められる形、というのは具体的にどのような形でしょうか？もう約分できたり、括りだしたり出来ない状態でしょうか？ 特に(3)のような時に、どこまで有理化すればいいのか検討がつかなくて困っています💦 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

I 関数の極限 41 基本 例題024 高校数学 関数の極限 ③ 以下の極限値を求めよ。 2x°-2 /1+2x-1 V1+x-1 x+8 lim *ー-2 x-3x-10 (3) lim xー1 x-1 X→0 指針 (1)~(3) すべて の形の極限 である。 不定形の極限を求めるには, 極限が求められる形に変形 する。 ……不定形の数列の極限を求める場合と要領は同じ。 (1) 分母,分子の式は x=D1 のとき0となるから,ともに因数x-1 をもつ (因数定理)。 よって,x-1で約分 すると, 極限が求められる形になる。 (2) 分母·分子の式は x=-2のとき0となるから,ともに因数x+2 をもつ(因数定理)。 よって,x+2 で 約分 すると, 極限が求められる形になる。 (3) 分母 分子の無理式を 有理化 すると, 極限が求められる形になる。 CHART 関数の極限 極限が求められる形に変形 くくり出し 約分 有理化 評答 2x?-2 lim x-1 x→1 イ分子のくくり出しと約 =lim x-1 分。 エ→1 =lim2(x+1)=4 エ→1 x°+8 (2) lim エー-2 x-3x-10 (x+2)(x?-2x+4) = lim イ分母·分子の因数分解。 分子について (x+2)(x-5) X→-2 +6 x-2x+4 = lim x→-2 12 7 =(a+b)(a-ab+6) x-5 V1+2x -1 (3) lim x-0 /1+x-1 イ分母·分子の有理化。 =lim 分母と分子に X→0 1+x+1と 1+2x +1 を掛けた。 =lim -01+2x+1 -=2

数Ⅲの質問です 青ペンでライン引いてあるところの中の赤ラインのところの展開についての質問です　この展開って写真2枚目の展開をするらしんですが　写真3枚目の展開の仕方じゃだめなのですか？

基本 例題133 関数の極限 (3) 次の極限値を求めよ。 Mim logax+1og.(V3x+1-V3x-1) X→0 指針>(1) 対数の性質 klogaM=logaM*, logaM+logaN=1o 内を log.f(x) の形にまとめる。 そして, f(x) の極限を (2) 018 の形 (不定形) で 無理式 であるから, まず 有 でくくり出す。このとき, x- 18 であるから,x<0 x<0のとき, Vx? =xではなくて, V°=-x であ なお,別解のように, x=-tの おき換えで,t→8の 解答 1)- logax+log.(/3x+1-/3x-1) =log3Vx +log3 3x+1+V3x-1 2/x 3x+1+V3x-1 =log3 であるから 2/x 3x+1+V3x-1 (与式)=Dlimlog3 X→0 =limlog。 2 2 =log3 1 1 3+ X→の ニ 1 3 2/3 2 x 1im

(1)の問題は分母の有理化をして求めることはできますか？答えは3/2になります。

166 第3章 数列の極限 Check! 例題 無理式の数列の極限 77 次の極限値を求めよ。 3n+1 (2) lim/n(Vn+I-/n) Vn'+1+n n→ 0 n→ 0 Vn-\n-1 (4) lim nーVn+1-Vn-1 6 (3) lim n→0 n-Vn'-3n

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

(1)を有理化で解くのはダメなんですか？

[(2)] などの形になってしま 178 無理式など 基本 例題102 数列の極限 (2) (3) +2n (2)ファー 4n V2n+1-V2n n?+2n +n (4) log2/3 (5) cos nπ 1 (2)」などの形になって、 ○○ -O (2(3) 有理化 を利用する。 (2) では分母を有理化, (3)では分子の /n+2n -n を有理化する。 (4) loga M*=klogaM を利用 (a>0, aキ1,M>0)。 (5) カ=1, 2, 3, … と順に代入し, 数列の規則性に注目。 有理 (Va-) =Da-b CHART 無理式の極限 ○○-8 は有理化 解答 4 =2 2 4 4n 三 7(1) lim =lim 2 +1 n Co Vn+2n +n n→0 1+ 81U /2n+1 +V2n -=lim (2n+1)-2n 1 2) lim 2n+1-V2n n→0 n→0 =lim(/2n+1 +V2n)=8 n→0 n+2n-n° n+2n +n 0 lim(Vn°+2n-n)=lim n→0 n→0 2n =lim Vn°+2n +n =lim- 2 8↑W n→ 1+2 +1

（2）の√2n＋1＋√2nをなぜ（3）のように再度不定形としてlim√2＋1/n+√2=2√2としないのか誰か理由をおしえてください

145 数列の極限(2) 無理式の形など 基本例題 88 基本 87 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 4n 1 (3) Vn°+n-Vn?-n 4章 n+2n +n 2n+1 2n 14 (4) 1og2/3 [(3) 明治大) COS nπ 数 列 1 指針>(1)~(3) そのまま求めると一(1]や の [(2)] などの形になってしまう,不定形の 極 限 極限である。よって,極限を求められる形に変形 する工夫が必要。 (1) 前ページの基本例題87(2)(ウ) と同様に,分母·分子をnで割る。 (2), (3) 有理化 を利用する。(2)では分母を有理化, (3)では分子の(n+n-\n°-n を有理化する。 (4) loga M*=kloga M を利用(a>0, aキ1, M>0)。 (5) n=1, 2, 3,… と順に代入し,数列の規則性に注目。 有理化 (Va+V5)(Va-5) =a-b を利用 CHART 無理式の極限 ○-0は有理化 解答 4n =lim 4 4 2 4分母·分子をnで割る。 n>0 であるから、 『n°=n となる。 n°+2n +n 2 1+ +1 n n→0 n→0 2n+1+V2n (2n+1)-2n 1 (2) lim =lim イ分母·分子に 2n+1 -V2n n→0 n→0 2n+1 +(2n を掛ける。 =lim(V2n+1+V2n)=0 1→0 Vn'+n-\n°-n と考 (3) lim(Vn°+n ーVnーn)=lim 1 Vn+n+/nーn 1→0 カ→0 えて、分母·分子に 『+n+\nーn を掛ける。 イ分母·分子をnで割る。 2n 2 =lim lim /n°+n+Vn? 11 1+ n =1 1 n→00 n n→0 n (4) limlog2V3 =lim 1 -log23=0 (1og23 は定数。 n→0 れ→0 n (5)数列 {cos n}は 一定の値に収束せず,正の無限大にも負の無限大にも発散し ない。よって,振動する(極限はない)。 | cos nT=(-1)" 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 88 練習 ((2)京都産大) 2 2n+3 1 (3) n(n°+2 -Vn?+1) V3n+n+n Vn°+n-n Vn+1-Vn-1 Vn+3-/n V7 (5) log3 5" nπ (6) sin 2 (7) tan n

解説の7行目、ゆえに x＝yと書いてあるのですが、どうしてこうなるのですか？

よいが,無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して、 ソ=f(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数kの値の範囲を求めよ。 f(x)=x°-2x千k(x21) の逆関数をf-'(x) とする。y=f(x) のグラフと の 重要 例題97)関数とその逆関数のグラフの共有点 指針> 逆関数f-'(x) を求め, 方程式f(x)=f-'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても 題97)関数とその逆関数のグラフの共有点 ー2を (x21)の逆関数を「-'(x) とする。y=f(x) のグラフと ー(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数kの値の範囲を求めよ。 基本 95 よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して 次のように考えてみよう。 の に着目し,連立方程式 y=f(x), ここで,性質y=f"(x) → x=f(y) *ーアy)が異なる2つの実数解(の組)をもつ条件を考える。x, yの範囲にも注意。 … 解答 共有点の座標を(x, y) とすると ソ=f-(x)より X3DF(y) であるから, 次の連立方程式を考える。 参考 y=x°-2x+kとすると x°-2x+k-y=0 よってx=1±/1°-(k-y) x21からx=Vyーk+1 +1 xとyを入れ替えて,逆関数 は f-(x)=Vx-k+1+1 逆関数f-(x)の値域は, 関数 f(x)の定義域と一致す ソ=f(x) かつ y=f-'(x) O ソ=x°-2x+k(x21) x=y?-2y+k(y21)@ ソーx=(x+y)(x-y)-2(x-y) (x-y)(x+y-1)=0 の, D-2 から したがって A x21, y21であるから x+yー121 よって,求める条件は, x=x?-2x+kすなわち「x-3x+k=0 るから y>1 がx21の異なる2つの実数解をもつことである。B g(x)=x?-3x+kとし, g(x)=0 の判別式をDとすると [1] ゆえに、xーy 放物線とx軸がx21の 範囲の異なる2点で交わる条 件と同じ。 B D>0 から よって 9-4k>0 ゆえに kく 9 3 4 ソ=g(x) 3 [2] 放物線 y=g(x) の軸は直線×3D;で, 1<号である。 2 2 |こ [3] g(1)20から 12-3·1+kNO よって、k22、 の 9 0 x 3, ④の共通範囲をとって 2Sk< 4 2