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数学 高校生

積分に関する問題です。 ①と②をイコールで結んでから、青部分の式になるまでの過程がよく分からないのでもう少し詳しく教えてください🙇🏻‍♂️

6 水の問題- 合で水を注ぐ. 水面の高さが6に達したときの水面の上昇する速さ, および水面の面積が増加する 曲線 y=e-1 (x≧0) をy軸のまわりに1回転してできる容器がある. この容器に毎秒αの割 速さをa, bを用いて表せ。 (信州大・医一後/一部省略) ここでは、空の容器に一定の割合で水を注ぐ問題を 水の問題の解き方 扱う。登場する量は,容器の底から水面までの高さ H, 水面の面積S,水の 量Vであり,これらを時刻tの関数と考えるのが基本である.解答では,単 に耳と書いたら時刻における高さを表すものとする (他も同様). ■解答盞 注水開始時点を時刻0とし, 時刻におけ る水面の高さをHとする. y=e²-1のときx=log (y+1) であるから, 時刻における水の量Vは, V = =∫"x{log(y+1)}dy 一方,毎秒αの割合で水を注ぐから, V = at ① = ② であり,これをtで微分して, dH =n{log (H+1)}2-L dt このタイプの問題では、水の量(または水を注ぐ割合)を2通りの方法で 表すことがポイントになる.容器の底から水面までの高さがんのときの水面 の面積をS(h) とすると,体積の公式よりV=S" (h) dh.……① であり,一方,毎秒aの割合で水を 水の量V 注ぐから V = at ・・・・・ ② である. ①= ② と, SをHで表した式から求めたいものを計算する. 水面の上 水面の面積が増加する速さは である. 昇する速さは dS dH dt dt dv dt ... dH dt π{log (H+1)} a dS dt 1 dH -=π·2{log (H+1)}·· H+1 dt =2π' =a log (H+1) H+1 a よって, H=bのときに水面の上昇する速さは, π{log(b+1)} 時刻t における水面の面積をSとすると, S="{log (H+1)} であるから ④の両辺をtで微分して, a ™{log (H+1)}' y H 2a (H+1) log (H+1) って, H=bのときに水面の面積が増加する速さは, 2a (6+1)log (6+1) y=e²-1 0 log(y+1) ( ③ を用いた) 水面の面積S H dH dt ■水面の上昇する速さは 水面の高さHが♭に達したとき の水面の上昇する速さを求める dH dt をHで表して H = b ので. を代入する. 合成関数の微分法を用いる. Hはtの関数であることに注意. (水面の面積)×(水面の上昇速度) 11 11 ™ (log (H+1)}2 dH dt が注水速度αに等しい, という式 である. こう考えると納得でき るだろう. ④ 前半と同様に考える. 水面の面積が増加する速さは, ds dt 水面の高さHが♭に達したとき の水面の面積が増加する速さを をHで表して 求めるので, dt H=bを代入する.

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数学 高校生

数3の媒介変数表示に関する問題です。 法線PQの傾きがなぜその値になるのかは理解できています。 次に直交座標に関してPQの傾きを表してイコールで結んでいると思うのですが、これは曲線Cの概形をわかっていないとすぐにでてこなくないですか🤔 概形を把握していないと左辺の符号... 続きを読む

を考える。 250) I に続く) の らく (2) 8 媒介変数表示 / 接線など (左ページの例題の続き) (2) (1)の点P(20-sin0, 2-cose) (0<0. <2ヶ)における曲線Cの法線とx軸との交点をQ とする。 線分PQの長さが最大となるような点Pの座標を求めよ. (3) 曲線Cとx軸, 2直線x=0, x=4zで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の 体積を求めよ. (お茶の水女子大・理 0 解答 P(20-sin0, 2-cosl) を (x,y) とおく. dr サイクロイドでよく出る問題 do =22㎡2 曲線の長さといった設問が多い。 おくという程度でよいだろう.式の形を一度は見ておこう. = 2π dy dy/do sin0 dx dx/do 2-cos 0 法線PQ の傾きは, =2-cos0. dy do = sin0より 2-cos0 sin 2 dx 2 [**лy²dx=²* xy² de do=x_ do 似たような式が出てくるので,このうちのいくつかを実際に計算して サイクロイドなどの曲線では, 接線・法線,面積. 回転体の体積, (0= π) よって, Q(q, 0) とすると, PQ の傾きについて であり, y=2-cos0 だからg-x=sin0 PQ=√sin20+(2-cos0)2=√5-4cos0 .. 0のときはP (2π, 3), Q(2π, 0) だから PQ=3で,このときも ①は成り立 っ.①で-1≦cos0 <1なので, ① は cos0=-1(0=z)のときに最大になり, そのときの点Pの座標は (2,3) (3) 求める体積は, =x"{8+3(1+cos20)}d0=r110+ YA 1 O o-y 9-x - 2π d0=xf"" (2-cose)2 (2-cosd)do =z/" (8-12cos0+6cos2d-cos30)d=™」。"(8+6cos²0)dl 0 IC 8 =x[110+ 2 sin 2017 3 -sin20 JO 2-cos sin ■このような問題では, dx do 47 x =yとなることが多い。 ←PQ=√(q-x)+y2 ←「微積分編」 p.132 を Y = coseのグラフ( cos A, cos30 の積分 とがわかる. TC +----- S

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