逆像法と順像法について。もし例題(ア)でx^2+4yではなく、x+4yという問題だったら、 (イ)と同じように xの値に±付きのルートが出てきて面倒なので、逆像法で解くということですか？

12 2変数関数/等式の条件が2次式の場合 (ア) 実数x,yがx'+y2 =1をみたすとき,r'+4yは(x,y)=(, をとり、(x,y)=(¯□¯)のとき最小値 |をとる. ■ のとき最大値 (東海大理工) (イ) 実数x,yがx-2xy+2y2=8を満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 (名古屋学院大, 一部省略) 「等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前問と同様に解ける.こ 実をもつまらな こでの範囲に制限がないから, yに反映させる条件はない, とすると大間違いである。 例えばy=2 とすると, z=-3となるがこれを満たす実数æは存在しない! つまり,ェが実数であるための条件220 を」に反映させる必要がある. (z が実数で存在する条件) 実数が一方, (イ)の場合、無理に1文字を消去して』をyで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの が登場してしまう。こんなときは,次の手法が威力を発揮する. (「大学への数学」では“逆手流” と呼 んでいる) すま の地で さかて f(x, y) =0のとき,g(x,y)の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて, kがIの範囲に入る⇔ 「f(x, y) =0かつg (x, y) = k を満たす実数x, y が存在する」 本間の場合, f (x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「」 から得られる kの条件 (範囲) がIになるわけである.なお, 逆手流については、詳しくは p.66. 解答 存在条件に (ア)存在条件(イ)有 Dしかない 次へ 実 (ア) '+y2=1により, r=1-y2 x 2 0 であるから, 1-y2≧0 .. -1≤y≤1 このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5 よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4 y=-1 (このときょ=0) のとき最小値 4 (イ) x+yがんという実数値を取り得る. ⇔rty=kかつ2ry+2y2=8 を満たす実数x, y が存在する。 ⇔-2ェ (k-x)+2(k-x)=8① (y=k-π･････ ②) を満たす実数x が存在する. ここで, ①を整理すると, 52-6kr+2k2-8=0 ェの実数条件. な お,r'+y2=1は 右図の単位円を 表すことからも -1≦y≦1 が分かる. 1 〒1 並ん [② ②を使ってyを消去. なお,エが 実数なら②からが実数である から, が言える. これを満たす実数x が存在するための条件は,上式を2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな きの判別式をDとすると, D≧0であるから, D/4=(3k)2-5(2k2-80 .. k²≤40 ければならない. その条件は D.20. ..-2/10 ≦k≦2/10 よって、xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である。 D 12 演習題(解答はp.59) (ア),yが2+2y2=1 をみたすとき, 2x+3y2の最大値は [ である. ]で,最小値は (明海大 歯) (イ) (1) 実数x、yがェーry+y"-y-1=0 をみたすとき, yの最大値は 最小値は である. で. (愛知工大) (2) 実数ェリがェー2x+y=1を満たすとき,rtyの最大値は [ 最小値は (ア) 実数条件を忘れな いように. ( 広島工大) (イ) 逆手流を使う. である. 解答のかき方応 45 逆手流の逆像法 みる の 大阪

マーカーの部分で、なぜいきなりXの方程式が出てくるんですか？これはどこから求めたものですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️

17 重要 例題5 複素数の実数条件 00000 +1 絶対値が1で, z² が実数であるような複素数を求めよ。 基本2 指針▷ 複素数αが実数⇔ α =α を利用する。 2+1)=2+1 から得られる、その式を|2|=1 すなわちえ=1 を代入することで簡単 11 L にする。 なお,zz=1から得られるz== 1 1 または を利用し,zのみまたはえのみ 2 の式にして扱う方法も考えられる。 → [別解] 解答 z+1 が実数であるための条件は (z+1 2+1 αが実数a=α 22 z+1 z+1 すなわち 2 A ( 両辺に(z)を掛けて z2(x+1)=(z)(z+1) よって 2.2z+2²=2.2z+(2) 2 |z|=1 より zz=1であるから 2+2²=x+(2)² ゆえに 2-2+22-(2)²=0 よって (z-z)(1+z+z)=0 ゆえに zz = 0 または 1+z+z=0 [1] z=0のとき z=2 よって, zは実数であるから, z|=1 より z=±1 [2] 1+z+z=0 のとき z+z=-1 また,zz=1であるから,z, は2次方程式x2+x+1=0の 解である。 z-z+(z+z)(z-z)=0 α, β が複素数のときも αβ = 0 ならば α = 0 または β=0 が成り立つ。 x²-(和)x+(積) = 0 (A) この方程式を解くと __1±√12-4•1_-1±√3i x= = 解の公式を利用。 2.1 [1], [2] から z=±1, -1±√3i 2 別解 zz = 1 から ==2 よって == 2 ゆえに,Aは 2+2=2+1 z² in-1/2+(1/2)=2+22 両辺に2を掛けて z2oz(z+1)=z+1 よって (z+1) (z-1)(z2+z+1)=0 z-1=(z-1)(z+z+1) これを解いて -1±√√3i z=±1, これらのは|z|=1 を満たす。 2

数IIの3次方程式の問題です。 平方完成が何度やり直しても合わないため、 解説をお願いします。

足 計算が大変 例題 37 判別式と解と係数の関係 BECKS 8**** を実数とする。 xについての2次方程式 x2+2mx+3m²-5m-3=0 実数解 α, β をもつとき, ' + β2 の最大値と最小値, およびそのときの mの値を求めよ。 « Re Action 方程式の解の対称式は、 解と係数の関係を用いよ 例題 35 文字を減らす から 数を決定する。 思考プロセス m の式 α2+B2 = [ ← 解と係数の関係より Ja+β= (mの式) ↑ lab= (mの式) 最大・最小を求めるためには, mの値の範囲が必要 文字を減らす 解 方程式が実数解をもつから, 判別式をDとすると D≧0 一つの解を1つの文字 用いて表す。 例題 D =m²-(3m²-5m-3) 33 4 == -2m² +5m+3= -(2m+1)(m-3) 1 よって - 2 2次方程式 α β 実数である条件を 忘れないように注意する。 α とβは 「異なる」 とは 書いていないから, 重解 のときも含まれる。 D≧0 より (2m+1)(m-3)≦0 方程式の2解が α, β であるから,解と係数の関係より a+β=-2m, aβ=3m²-5m-3 a2+B2 = (a+B)2-2aß 2 = (-2m)² -2(3m² - 5m-3) = 2m² +10m+6 2 = -2(m-5)²+37 ≧m≦3であるから, 2 + B2 は A+B2 37 2 m ①,② より 2 を求めることで してm を求めても しかし、より ゆえに する方が容易であ を求めてから めている。 をα, α-1とお [\] 対称式変形をしてから解 と係数の関係を用いる。 75 37 m = =1のとき 最大値 2 2 2a+1) +8 AJ 1 1 a+10 2 2 m=- のとき 最小値 Point...解の対称式の最大・最小を求める手順 - 121 横軸がm, 縦軸が 2 + β2 !m であることに注意する。 53 ① 実数条件(D≧0やD > 0) から係数に含まれる文字の変域を求める。 ② 解と係数の関係を用いて、 解の対称式を係数の文字で表す。 ①の範囲で、②の関数の最大・最小をグラフを利用して求める。頭

なぜこうなるのかわからないです…

ex) g =√√√x²-3x+² =N/ex=220xx-T 実数条件x1,x=2

（2）だけなぜこの答えになるのかわからないので教えてほしいです。

【1】 平方根の実数条件に注意して、 次の関数の定義域を求めなさい。 (1-1) y=√√7x – 13 x 24/7 (1-2) y = √x² - x - 72 (X +8)(x-a) -8.9 -86259 (1-3) y = √x² − 2x+2 27-8 .)(²-8. 229 すべての実数の集合 (X-116

青チャートII Bの不等式の表す領域の単元の質問です。黄色線のようにx,yは実数と問題文に書いてあるのに何故x,yが実数として保証されるようなX,Yの条件を求めなくてはいけないんですか？私は四角1の条件だけで十分だと思うのですが。

00000 重要 例題125点 (x+y, xy) の動く領域 実数x, y が x2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の動く領域 図示せよ。 指針 x+y=X, xy=Yとおいて, X, Y の関係式を導けばよい。 条件式 x2+y≦1 を X,Y で表す。 DevZXS → x2+y2=(x+y)²-2xy を使うと しかし, これだけでは誤り! 変数のおき換え 範囲に注意 [②2] x,yが実数として保証されるような X,Yの条件を求める。20 解答 - AMOU X²-2Y≤1 x,yは2次方程式t2-(x+y) t+xy = 0 すなわち t2 - Xt+Y=0の2つの解です。 るから,その実数条件として 判別式 D=X2-4Y ≧05

複素数です。 この問題の解説の最後のほうの［２］の 『z, z^-は二次方程式x²+x+1=0の解である』 の考え方が分かりません。 どなたか教えてくださいお願いします🙏🙏

絶対値が1で, z+1 2² が実数であるような複素数zを求めよ。

（1）についての質問です。 まず、（2）では、XとYで領域の式を作った後、XとYがt^2-Xt+Y=0から、 X=p+q, Y=pq, p^2+q^2≦8, p≧0 , q≧0 を満たす実数の組（p,q）が存在することを示すためにDの式を使って証明してますが、 （1）で... 続きを読む

2 2 したがって、求める領域は、右の図の 斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 √√2 2 めに 実数条件を考えているのである。 2 1 2 4 x= ± √2 poker von N S とす 検討 実数条件(上の指針の②)が必要な理由 x+y=X, xy = Y が実数であったとしても, それが x2+y≦1 を満たす虚数x, y に対応した X,yの値という可能性がある。例えば、x2+1/26y-12-1/2のときx+y=1(実数), xy= (実数) で, x2+y2 ≧1 を満たすがx, y は虚数である。 このような (x, y) を除外するた と 練習 座標平面上の点 (p, g) はx+ys8,x≧0 y≧0で表される領域を動く。このと 125 き,次の点の動く領域を図示せよ。 [類 関西大] (1) (p+q, p-q) (2) (p+q, pq) (p.196 EX80 7

tはどこから出てきたんですか？

を導く で表す。 -X+₁ か 重要 例 130点 (x+y, xy) の動く領域 00000 実数x,yがx2+yal を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の動く領域 を図示せよ。 重要 129 Jul 指針 x+y=X, xy=Y とおいて, X, Y の関係式を導けばよい。 ① 条件式x2+y2S1 を X, Y で表す。 x2+y²=(x+y)2-2xy を使うと 解答 しかし, これだけでは誤り! ②② x,yが実数として保証されるようなX, Y の条件を求める。 →x,yは2次方程式(x+y)t+xy=0 すなわち 2-Xt+Y=0の2つの解で あるから,その実数条件として 判別式D=X2-4Y ≧0 ① 実数条件に注意 X=x+y, Y=xy とおく。 x2+y≦1から (x+y)^-2xy≦1 すなわち 1 したがって また,x,yは2次方程式2- (x+y) t+xy = 0 -Xt+Y=0の2つの実数解であるから,判別式をDとす ると D≧0 ここで D=(-X)2-4・1・Y=X2-4Y/ よって, X2-4Y ≧0から OKOAN Y≤ X2 1 2 2 ①②から X2 y≧1/23/12/ Y2 X2 4 X2-2Y ≦1 ... A SYSX² 201 変数をx, yにおき換えて 2 2²-12 syst 4 したがって 求める領域は、 右の図の 斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 X2-2≦1 ENT ENTE すなわち 2 数α βに対して p=a+B,g=aβ とすると,α,Bを 解とする2次方程 式の1つは x-px+q=0 √2 YA 1 2 12 TO y= y= x21 44 √2 18 x 301. CSAES vid 207 x2 x² 12/1/2号とす 4 るとx=±√2 nekesno 3章 1 不等式の表す領域 1010100 実数条件(上の指針の [2]) が必要な理由 検討 x+y=X, xy=Y が実数であったとしても, それがx2+y'≦1 を満たす虚数x,yに対応し 1. た X, Yの値という可能性がある。 例えば,x= 12/12/2+1/2/hy=1/12/12/21のときx+y=1 (実 -i, i 1 190 ‚), xy= (実数) で, x2+y'≦1 を満たすがx,yは虚数である。 このような (x,y) を STENDORR 除外するために 実数条件を考えているのである。 **** M 練習 座標平面上の点(p, g) はx2+y²=8,x≧0 y≧0で表される領域を動く。このと 10 EY 90

囲っている部分がよく分かりません🙏🏻

を 対値が1で, z-zが実数であるような複素数zを求めよ。 CHARTI SOLUTION 複素数の実数条件 αが実数⇔ α = α •••••• zとえの和と積の値からぇとえを解にもつ2次方程式を作る。 解答) |z|=1 から |z|2=1 また, パーは実数であるから 2³-2=2³-2 ここで、パーz=z-z=(z)-zから (z)³-z=z³-z したがって 2-(z)-(z_z)=0 (左辺) = (z_z) {z²+z^2+(z)2}-(z_z) ゆえに =(z_z){z2+1+(z)²-1} =(z_z){z2+(z)2} (z+z)2-2zz=0 zz=1 よって (z_z) {2^²+(2)2}=0 ゆえに z=z または2+(z)=0 [1] z = z のとき zは実数である。 よって, |z|=1 から |z =±1 [2] z2+(z)=0 のとき 2 ゆえに (z+z)=2 よって 2+2=+√2 z+z=√2 のとき, zz = 1 から,2数z zは2次方程式 √2 ± √2i ²-√2t+1=0 の解である。 よって 2 z+z=-√2 のときも同様にして2数zえは2次方程式 -√√2 ± √2i t2+√2t+1=0 の解である。 よって t=- 2 [1], [2] から z= ±1, (8+)208- (8+ t= 0=80S+0+80 √2±√2-√2±√2i 38ABINE 0=5+8+=+8+ 2 1000 122=121 αが実数 d= -a-Ba-B a = (a)" <-a³-6³ =(a-b)(a²+ab+b) N 24887 $-=+6 0¹10=1+1= A=(S)-S-=8jp zz=1 zz=1 EXERCISE 12 a, t (1) 解の公式を利用。 ITAMO A 2①c 1 32 B