192
ナ
基本 例題 125 三角形の内角の二等分線の長さ(1)
00000
(1)△ABCにおいて,∠A の二等分線が辺 BC と交わる点をDとするとき
BD:DC=AB: AC が成り立つことを証明せよ。
(2)△ABCにおいて, BC=6, CA=5, AB=7 とし,∠A の二等分線と辺
BC の交点をDとする。 線分AD の長さを求めよ。 0
CHART
OLUTION
|基本 117 118
基本130
三角形の内角の二等分線の長さ
① 余弦定理の利用
② 面積の利用
解答)
三角形の内角の二等分線については,(1)のような性質がある。
これを利用して, (2) では余弦定理を使ってAD の長さを求める。
②面積の利用は,後で学習する (p.200 基本例題130 参照)。
(1) ∠A=20, ∠ADB=α とすると, △ABD
とACD において, 正弦定理により
BD AB
=
sin0 sina'
a
A
00 180°-α
A
B
D
(m)
sin(180°-α)=sinα であるから,これらを変形すると
DC
AC
sine
sin (180°-α)
sin
BD=
sing AB, DC=
sin
-AC
sina
よって
C
別解 (1)
E
Da B
A
DC
図において, AD // EC と
すると,∠AEC=∠BAD
(m) -
BD: DC=AB: AC
=∠CAD=∠ACE
AE=AC
(2) 線分 AD は ∠A の二等分線であるから,(1)よりよっ
BD: DC=AB:AC
BC=6, CA=5,AB=7から DC=5/1
△ABCにおいて,余弦定理により
cos C=
_6252-72__ 12_1
2.6.5
2
A
5
D`--5--C
2・6・5 5
B
7.
2
(mm) 82,a=d
△ADCにおいて, 余弦定理により
AD2 =52+
5²+(5)²-2.5.5.1-105
105
AD> 0 であるから
AD=
2
4
BD: DC=BA:
=AB: AC
BD: DC=7:5 から
DC=715BC
inf. cos は角が大きいほ
ど値が小さくなるので,本
問では cos C を求めた。
← AD’=AC2+DC2
-2AC-DC cos C
ASI B