この問題は問題文範囲内に1つのみ解、2つ解で解いていく方針が基本の上で 余事象の解き方も考えてみたいのですが 　軸≦-1,f(-1) ≧0または軸≧1,f(1) ≧0 判D無しでこれを余事象と考えたのですが、 これでは成り立たたず、恐らく条件がまだ絞りこめてないか... 続きを読む

重要 例題 127 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 方程式x2+(2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解 をもつような定数 αの値の範囲を求めよ。 基本 125 126

(1)について質問です。 判別式と軸、f(0)のそれぞれ3つに分けて値を求め、グラフにして求めたのですが、判別式D>0にして私は求めてしまったのですが、解答ではD≧0で求めています。 D>0ではダメな理由を教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

TRAINING 49 2次方程式 x2+2(m-1)x+2m²-5m-3=0 が次の条件を満たすように,定数 m の 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの正の解をもつ。 (2)異なる2つの負の解をもつ。 (3) 異符号の解をもつ。

ここで＝を含まないのはなぜですか？

重要 例題 148 三角方程式の解の存在条件 0 の方程式 sino+acos0-2a-1=0を満たす 0 があるような定数a 00000 この値の範 基本145 囲を求めよ。 指針 まず 1種類の三角関数で表す →→ cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で、与式は 解答 (1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 ① よって、 求める条件は, 2次方程式 ① が -1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をも つことと同じである。 次の CHART に従って、考えてみよう。 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k)に着目 COS=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は (1-x2)+ax-2a1= 0 すなわち x2-ax+2a=0... ① この左辺 f(x) とすると, 求める条件は方程式 f(x)=0 1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことで ある。 THE 検討 x2ax+2a=0をαにつ いて整理すると x=a(x-2) (0-200-J)-よって, 放物線y=xと これは, 放物線y=f(x) とx軸の共有点について 次の [1] または [2] または [3] が成り立つことと同じである。 [1] 放物線y=f(x)が-1<x<1の範囲で, x軸と異な る2点で交わる, または接する。 このための条件は、 ① の判別式をDとすると D≧0 a(a-8)≥0 D=(-a)2-4・2a=a(a-8) であるから 直線y=a(x-2) の共有 点のx座標が -1≦x≦1の範囲にある 条件を考えてもよい。 解 答編 p.147 を参照。 [1]\ YA よって a≤0, 8≤a ...... 中 <a 軸x=1/2について 1</12 <1から -2<a<2… ③ + 20 1 f(-1)=1+3a>0から a> - 11/13 ④ 3 f(1)=1+α>0 から α>-1 [2] y4 1 ②~⑤の共通範囲を求めて <a≤0 3 + -1 [2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ 1 1点で交わり,他の1点はx <-1, 1<xの範囲にある。 このための条件は f(-1)f(1)<0 ゆえに (3a+1) (a+1) <0 よって 1 -1<a<- [3] 放物線y=f(x) がx軸とx=-1またはx=1で交わ [=(0) 3 る。 f(-1) = 0 または f(1) = 0 から a=- 1 または α=-1 3 [1] [2] [3] を合わせて -1≤a≤0 ya 00: 1. 100 [参考] [2] [3] をまとめて,f(-1)f(1) ≧0としてもよい。 練習 0 の方程式 2cos20+2ksin0+k-5=0を満たすのがあるような定数々の値の ④ 148 囲を求めよ。

この問題って右下にあるように定数分離を使っても解けると思うのですが模範解答の解き方も覚えないといけないですか？ 定数分離の方が自分的にやりやすいのでもし覚えなくて良かったらその方法だけでやりたいです。

4 第4章 三角関数 Think 10/17x **** 例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件 OOT とする. 0 の方程式 cos20+asin0+a=0･･････① を満たす 0 が存在するための定数αの値の範囲を求めよ. ( 岩手大・改 ) [考え方 sing とおくと、2倍角の公式を利用して、1の2次方程式として考えることがで きる。 (0) f(1) が同符号のとき f(t) のの係数が正より 区間 ②で③が実数解をもつための条 件は, f(0)>0 かつ f(1)>0 かつ f(t)=0 の判別式をDとすると. D≧0 かつ y=f(t)の軸が区間内 つまり、tの2次方程式の解の存在範囲の問題となるので 2次関数のグラフと軸の である. 共有点を考えるとよい. f(0)=a-1>0より, 解答 a 3 三角関数の加法定理 295 f(0) <0. f(1) < 0 の場合は区間内に解 をもたない。 17 0 a>1 ...... ④ f(1)=2a+1>0より 1 a> 2 8 t D=α-8a +820 より a≦4-2√/24+2/2≦a .......⑥ a-8a +8=0. 4=4+2/2 のとり得る値の範囲に注意しながら、 実数解 tの存在範囲を調べればよいが,そのと 上のようにいろいろな場合が考えられ、場合分けの必要がある場合分けをする ときの着眼ポイントは、「区間の端点の符号」,「軸と区間の位置関係」 「判別式(また は2次関数のグラフの頂点のy座標)」 である. t = sin0 とおくと,00πより 0≦t≦1 .....・・ ② cos20=1-2sin'0=1-2F より ①に代入して, -(1-2f2) + at + α = 0 つまり、 2f+ at+a-1=0 ...... ③ したがって、 ①を満たす 0 が存在するための条件は,区 間②において,tの2次方程式③が少なくとも1つの実数解 をもつこと, つまり ③より f(t)=21+atta-lとお とy=f(t)のグラフが区間②でも軸と少なくとも1つ の共有点をもつことである. (i) (0) (1) が異符号のとき つまり,f(0)f(1) <0 のとき f(0)=a-1 f(1)=2+a+a-1=2a +1 したがって, (a-1)(2a+1)<0 よって、12<a<1 -4<a<0 ......⑦ 軸はto より <<1 4 つまり. 以上(i)~(i)より,求めるa の値の範囲は したがって、④~⑦を同時に満たすαの値は存在しない。 ≦a≦1 Focus 最終的に2次関数の 解の存在範囲における場合分け 48 する。 問題として捉えるこ とができるかがポイ ント 区間の端点の符号で 場合分けを考える. (注)を参照) f(0)>0,f(1)<0 または, f(0) <0. f(1)>0 より 1 t f(0) f(1)<0 f(0)=0 のとき, す でに f=0 が③の解 となるのでf(1) の符 よって a= =1/12 または a=1 号は関係ない. () f(0)=0 または f(1) = 0 のとき つまり,f(0)f(1)=0 のとき (a-1)(2a+1)=0 f(t) =2f+ at+a-l =21++ 第4章 「区間の端点の符号」 「軸と区間の位置関係」 「判別式(または2次 関数のグラフの頂点のy座標)」に着目せよ! 注〉 例題152で 「区間の端点の符号」で場合分けを行ったのは, (i) や (i) の場合は端点の符 号を調べれば,軸や判別式を調べなくても、題意を満たす αの値の範囲を調べること ができるからである. このことは, Focus Gold 数学Ⅰ+Aの第2章 「2次関数」 で学んだ 「解の存在範囲」 の問題と関連している. 注) 「定数分離」という着眼から, 例題152を次のように解くこともできる. 2t2+ at+a-1=0 より 2t-1=-at-a g(t)=2t-1.h(t)=-at-a とすると, ③を満たす が区間②内に存在するのは, y=g(t) と y=h(t) が区 間②において共有点をもつ場合である.このとき, h(t)=-a(t+1) より,y=h(t)は定点(-1, 0) を通 る直線であるから, 右の図より、共有点をもつのは, -15-as y=g(t) 1 =h(t) (0, -1) を通る直線から, より、 1/2sas1のときである。 (1,1) を通る直線まで変化する. 練習 152 とする0の方程式 sin' +acos0-2a-1=0………① を満たす 0 (同志社大 改)

至急！ (1).(2)を途中式含めて教えていただきたいです。 お願いします🙇‍♀️

1 (1) 2次方程式 3x2+4x-15=0 を, 解の公式を用いて解け。 また3x2+4x-15を たすき掛けを用いて因数分解せよ。 (2次方程式の解と, 因数分解の結果を比較しておこう。) (2)12x2-31x+20 は, たすき掛けを用いて因数分解できそうか?以下の言葉を 必ず用い, 論じなさい。 また, 因数分解できそうな場合はその結果を書きなさい。 「2次方程式12x2-31x+20=0の解」 (厳密な証明じゃなくて問題ありません。 )

高一 二次関数とグラフのところです！ 実数解の個数は求められるようになったんですけど画像の問題の解き方が全くわかりません。 1枚目(1)の実数解求めてもD=16-4mで止まってしまいます💦 わかる方がいたら教えてほしいです！

6. 次の2次方程式の解がそれぞれ [ よ。 ] 内の条件を満たすとき, 定数mの値の範囲を求め (1)x2+4x+m=0 [異なる2つの実数解をもつ] (2)3x2-x+m=0 「実数解をもたない] (3) 2x2+x-m+1=0 [実数解をもつ] =

（4）の解説、どういう事ですか？ P（x）が（x+1）²で割れるっていうのは（2）の問題の中の話じゃないんですか？🙇‍♂️ （2）コサ の答えは 2と3です

148 第7章 式と証明, 複素数と方程式 *26k, 1, m を実数とし, xの多項式P(x)=x+kx2+x+mを考える。 (1) P(x) は x+1で割り切れるとする。 このとき, 因数定理により, P(アイ)=0が成り立つから,mはk, lを用いて m=ウk+1-エ ① と表される。また,P(x) を x+1で割ったときの商をQ(x) とすると Q(x)=x-x2+(k+才)x-k+1-カ である。 また (2)(x) (x+1)で割り切れるとする。 このとき, (1) で求めたQ(x)はx+1で割 り切れる。このことと①によりㄥmはkを用いて り切れる。このことと①により, lmはkを用いて l=≠k+ク,m=k+ケ と表される。また,P(x) を (x+1)2で割ったときの商をR(x) とすると である。 R(x)=x-コ x+k+サ 以下の (3), (4) は, P(x) は (x+1)で割り切れるとする。 (3) R(x) を (2) 求めた2次式とし 2次方程式R(x)=0の判別式をDとする。 このとき,P(x) がつねに0以上の値をとることは,Dの値がシであることと 同値であり,これは,k+スの値がセであることと同値である。 シ, ⑩ 負 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ③ 正 ① 0 以下 ④ 0 以上 ② 0 (4)を実数とする。 4次方程式 P(x) = 0 が虚数解 t+3i, t-3iをもつとき t=y, k=タ である。 になるのかな [21 共通テスト ・ 本試 (第2日程)]

次の方程式を、解の公式を使って解きなさい。 ① 2x²＋5x＋3 = 0 ② x²－8x＋5 = 0

(4)でなんでこの解き方で解こうってなるんですか？この問題を初めて見た時どんな思考回路で解きますか？

108 面積 を実数とする. 放物線y=x-4.x+4 について,次の問いに答えよ. ･･1, 直線 y=mx-m+2......② (1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ. (2) ① ②は異なる2点で交わることを示せ. (3) ①,②の交点のx座標をα, β(a<B) とするとき, ①,②で囲 まれた部分の面積Sをα, βで表せ. (4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ. 精講 -((+1)(-a)S (1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず｣ とくれば 「式をmについて整理して恒等式」 と考えます。 (2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。 3) 106 ですでに学んでいますが,定積分の計算には101(2)を使います。 ■)21 (解と係数の関係)を利用します。 Ja +4)x+m+2}dx α, Bは, 2-(m+4)x+m+2=0 の2解だから =-f(x-a)(x-B)dx=(-a)³ 169 (V) eo 注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが,101 (2) のようにき ちんと書いてください。 (4) 解と係数の関係より, α+β=m+4,aβ=m+2_ 参考 S= (B-α)=(a+B)2-4aß= (m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 S=((Ba) 6 {(B-a)²)=(m²+4m+8) 3 6 .(*) {(m+2)2+4} 12 よりm=-2 のとき 最小値をとる。 3 (*)は,よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません. ax2+bx+c=0 (a>0) の2解をα, B(α <B) とすると, a==b-√D B=- -6+√D B-α= 2a -6+VD 2a 2a -b-D D 2a 解答 a (1)②より(-1)(y-2)=0 mについて整理 これがmの値にかかわらず成立するとき x-1=0, y-2=0 本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)=Dとなるのは当然. このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも 可能で,必ずしも, α+β, aβ から求める必要はありません。 よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(12) (2)①②より,yを消去して ポイント x2-4x+4=mx-m+2 2-(m+4)x+m+2=0 L- (x-a)(x-8)dr=-(-a)³ 判別式をDとすると, D=(m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 =(m+2)^2+4>0 <D>0 を示せばよい S= =∫{(mr-m+2)-(-4x+4)}d (2) よって、①と②は異なる2点で交わる. 2 右図の色の部分がSを表すので 演習問題 108 O a 1 2 2 BI (2) ①②のグラスで囲まれ 面積が となるようなαの値 y=4-x?...... ①, y=a-x (αは実数) ••••••② について 次の ものを求めよ. (1) ①,②のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲

おそらくXの値を求めてから代入してaの値を求めるのかと考えているのですが、すべてとかいてあるので2つ以上の解答があるはずなのですがどうやって求めればいいのかわかりません。よろしければどなたか教えてください🙇‍♀️

2次方程式 x2+ ax +9=0の解が1つになるときαの値をすべて求めよ。 2次方程式 x + αx +25=0の解が1つになるときαの値をすべて求めよ。