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基本 例題 31
an+1=pan+(nの1次式 )
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-n
CHART & SOLUTION
漸化式 an+1=pan+(nの1次式) (p1) 出
① 階差数列の利用
●基本 29,30
+
ま
② anti-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形
②の変形については右ページのズームUP を参照。
30 SER CIG
83
下の解答は①の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。
解答
an+2=2an+1_(n+1)
+1=201
an+2-An+1=2(anti-an)-1
与えられた漸化式で,
n
+ n+1とおく。
bn=anian とおくと+1=26-114
辺々引いて
また
①から
更に
b=az-a1= (2.3-1)-3=2
bn+1-1=2(6-1)
b1-1=1
ゆえに,数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり
6n-1=1・2"-1
すなわち
b=2"-1+1
よって, n≧2 のとき
n-1
an a1+ (2-1+1)=3+1
2"-1-14
+(n-1)
k=1
2-1
=2"-1+n+1
(二十四十・十
HA
SO) (SSR).D
=3であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって an=2" 1+n+1 ... 1+
①
別
話を
←α=2α-1を解くと
α=1
MOITAMMO
inf. 6=2"-1+1 を求め
また後は
an+1=2ann
lanti-an=2"-1+1
から α+1 を消去して
an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
← n=1 とすると
S