証明の最後の方にある、「一般に、」からが理解できません。詳しく教えていただきたいです。

例2 z=g(y)=siny, y=f(x)=x2 ならば, fg の合成関数は z = sinx. 合成関数の連続性 定理1.2.3 y=f(x)がx=αで連続で, z=g(y) がy=f(a) で連続ならば,合成関 数z=g(f(x)) は x =αで連続である. 証明 y=f(x) は x =αで連続であるから lim f(x)=f(a) x→a である.また z=g(y)はy=f(a) で連続であるから lim_g(y)=g(f(a)) y-f(a) である.一般に,この極限はy ≠ f (a) なる条件の下でyをf(a)に近づけるの であるが, g(y)がy=f(a)で連続であり,yがf(a) に近づくのに y=f(a)を みたしていても成り立っているので limg (f(x))=g(f(a)).

証明の仕方がわからないです

「72 E)を求め、その値になることを証明せよ。 問題 7.3. I = [0, 1] 上の有界関数fが任意のreIに対して [0, z] で可積 分とする。このとき関数g(z) = f(t)dt はI上連続かどうかを理由とと もに答えよ。

( ⅰ ) はどうやって証明するのでしょうか？ 特に f(1)x の x の出し方が思い付きません…。 ※ ( ⅱ ) は解答しても良いし、しなくても良いです。

問題 2.4. f(x)をRを定義域とする関数で,任意の有理数 z, y に対し f(x + y) = f(x) + f(y) を満たすものとする.以下の事を示せ。 (i)任意の有理数 a に対し f(x) = f(1)x である。 (ii)fをさらに連続な関数とすると,全ての実数 z に対し f(z) = f(1)r となる。

写真の問題が分かりません、、。 自分で考えたのは　何か適当な関数（狭義単調増加または狭義単調減少）を考えて、そこにA B を代入して値の大小を考える、というものです。 あとは、事実として示されているA^1/t とB^1/t の大小とA Bの大小が一致するというものを使うため... 続きを読む

(3) A= T° とB= eT の大小を比較せよ.必要であれば, 以下の事実を用いよ: A, B> 0, t>0とするとき, AとBの大小と At と Biの大小は一致する。 解答の際は,理論的な根拠を要求する. A とBの概算値の比較では根拠があると認め ないので注意せよ。

誰か2枚目のcosxの証明問題見てください。 間違っていたら手直しお願いします。

例題1.2.2 三角関数の連続性 sin x, cos x は(-8, 8) で連続であることを示せ。 解答 x, aE(18, 8) とする.|cos x|<1であり,また(*) の左の不等式 より,一般に|sin x|<|x|である。したがって |sin x-sin a|=D2|sin xta x-a COS 2 ミx-al→0 2 よって, lim sin x =sin a となるから, sinxはaで連続である。 X→a cos x の連続性も同様に示される。

至急お願いします！ lim[x→∞]f(x)=lim[x→-∞]f(x)=∞のとき、連続関数 f : R→R の最小値が存在することの証明ってどうやるんですか？

この二つの解き方がよくわかりません

ネ の 2 了 252 無限級数で表された関数 ア(*)=ァ2 Mr もCNSS 5こつMG ッニア(*) のグラフをかき, その連続性を調べよ。 305 "253 関数 yーIim 二寺“のグラフをかき, その連続侍を調べよ。

収束する有理数の列を用いるのですが どう示せば良いのか教えて頂きたいです。

| MeC@) と9, tete 8 7のこ96) IS 60 4の Ge に

何故この答えになるでしょうか。 解説お願いします。

攻り立つから, z =0 Sin ん ー ji クウ まま た53 ん ん 導関数は次のように

なぜ絶対値sinx-sinx≦絶対値x-a→0と言えるのですか。

間まプー IDやべべべべ 例題1.2.2 三角関数の連続性 H sn +, coSて は(一oo, co ) で連続でもることを示せ. 答 ィ, ogー(一oo, oo) とする. |cos xy|ミ1 であり, また(*) の左の不等式 妨, 一般に|sin | ミ|z| である. したがって ISimァーsin | 三2|sm そテタ cos そえ<はーo| 0 (G2Se2C2 て| lim smァーsin 2 となるから, sinr は4で連続である. テー s+ の連続性も同様に示される.