138 第12章 固有値とその応用
例題12-4 (対角化の応用 ①: 行列のn乗)
3
主
行列 A = | を対角化せよ。また,それを利用して A" を求めよ。
24
[解説] 対角化の応用として行列のn乗が大切である。 その際, 次の事に注
意しよう。
1: (P-'APP 'AP・P 'AP・・・P 'AP・P 'AP=P-`A"P
2:
a
(9) - (g)
0
0
[解答] |A-tE|=(3-t) (4-t)-2=(t-2)(t-5) 固有値は2,5
(i) 固有値2に対する固有ベクトル
(x)= a( (a+0)
(*) - 0 (2)
=b
A-2E=
(ii) 固有値5に対する固有ベクトル
-2
=(-²₂)
wwwwww t
E- (22) ... x+y=0
A-5E = |
そこで, P=
よって,
2 -1.
P=(¯-1₂2₂)
◆対角行列のn乗はただちに求まる
Pは正則行列で, P-'AP=
3
.". -2x+y=0
とおくと,
と表
AP=(² %)
(2)
両辺を n 乗すれば, (P-'AP)"=
2n+1+5
-2n+1+2.5"
20
A=P(²05)
5n
2n
- (1) (²) (71)
5"
0
-(² %)*
・・・・・・ 〔答〕
-2"+5"
2"+2.5"
)
.....
... P-`A"P=
= (²
0
・〔答〕
'2”
(60)
100)