例2.2 liman = a かつ limbn=βならば, lim (an+bn) = a +βが成
n→∞
り立つことを示せ.
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この問題に対して多くの本では以下のような証明が与えてある:
lim an = 0, limb =3であるから, 定義により
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1
=
1
Vε > 0, N1 EN, Vn EN [n> N₁ anal<ε]
1
I
①
Vε > 02NnEN [n≥N2|bn-β<e] ...... ②
T
I
が成り立つ。 よって, N = max {N1,N2} とすれば, ①,②より
NIN2 どちらが大きい方を採用する?
n≧N ⇒ [(an +bn) - (a +B) ≤ lan - a + \bm - β < e+e = 2c
すなわち
逆三角符年式!
1Pl-al=1p+al=1pl+lal
とは
Vε > 0, ³NEN, Vn ЄN [n> N, ⇒ |(an+bn) - (a+b)|<2]
が得られる.したがって, lim (an+bn)=α+βが成り立つ。
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これで証明が扱われ
書きして
③めっちゃ小さい
だから、誰を
□かける!