4. zy 平面において, 2点(-a/2,0), (a/2,0) (a>0) を結ぶ一様な線密度を持つ伸び縮みしない細い
ひもを考える. ひもには鉛直方向 (y 軸方向) 下向きに重力がかかっている (重力加速度g) ひ
もの長さをf(a) とするとき, ひもの描く曲線 y=g(x) を変分法を用いて論じ、次の形の微分方
程式が満たされることを示せ;
2
dy
dr.
=A'{y(z) +B}^-1, (A,B: 定数)
=
※もし余力があれば、 微分方程式を解いて、 具体的に曲線を決定してみてください. いわゆる 「懸
垂曲線」 (カテナリー曲線) が答えになります。
[ヒント] レジュメ セクション2の (2.3) 式と (2.4) 式を参照。 [曲線の長さ] = f を拘束条件として、
ひものポテンシャル・エネルギー Uly(x) の変分問題を考える。 ラグランジュの未定乗数法を用い
るとよい。 また、形式的に 「時間」 のようにみなしてエネルギー保存則を利用すると計算が
楽かもしれない.