量子力学・ハイゼンベルクの交換相互作用についての問題です。 参考書を参考に(あ)〜(え)まで解いてみたのですが、考え方はあっていますか？ また、(お)以降の解説をお願いします。ブロッホの定理やフーリエ変換はどのように効いてくるのでしょうか？

III. 以下の文章のあ き の枠内に当てはまる数式や記号を答えよ。 ヘ =1として,スピン角運動量1/2をもつ三つのスピンが,互いに相互作用している系を考え る。スピン演算子を$, S,, $, とすると,系のハミルトニアンは次のように与えられる。 自=-J(S, S+ S,. S。+ $。. S.), J>0. ここでも番目(;= 1,2,3) のスピンのz,9, z 方向成分をそれぞれ好,S, S とする。スピン演算 子の間には (S, SY] = iS}, [SF, SY] = 0などの交換関係が成り立つ、自) = E\d) を満たす。 固有エネルギーEとエネルギー固有状態|)を求めたい。 全スピン角運動量 Shot = $, + $2+S。を使うとハミルトニアンは次のように書き直すことが できる。 自= - + JC, 定数C= あ 'tot このことから基底状態のエネルギー固有値は 時の固有値は S= +1/2, -1/2 のニつであり,これらに相当する1スピン状態をそれぞれ↑。 ↓と記すと,3スピン状態は,|S{ S S3) = |M1),| t)などのように表すことができる。独 立な3スピン状態は全部で 具体的にエネルギー固有状態をあらわしてみよう。 まず基底状態のうちで Sto = St+ Sz + Sg が最大の状態は |S S; Sg) ちに書き下すことができる。 つぎにエネルギー固有状態のうちで Sie = 1/2 のものを求めたい,ハミルトニアンと交換可 能な演算子はハミルトニアンと同時固有状態をもつことを利用する.このような演算子の一つ にスピンをRIS; S; S) = |S; S; S;)のように巡回置換する演算子良がある。-iとなるこ とと,周期系におけるブロッホの定理やフーリエ変換を思い出すと,Rと St。と自の同時固有 状態は適切な定数A(複素数も含む)を用いて い である。 う 種類あり,規格直交基底をなす。にれらの線形結合の形で え のように直 三 る(「4)+A|)+ ^°| +t) V3 と表せることが分かる。Aの取り得る値をすべて列挙すると 底状態となるのは A- か 以上の結果からすでに二つ基底状態が得られた。残りの基底状態を列挙すると, お となる.このうちで,基 の場合である。 き と なる。

マーカーの箇所がどうしてこうなるのかがわからないです、

です。これから, V(t) に対するシュレーディンガー方程式の左辺は となります。共役をとる操作は共役線形なので, i=1 -Ar- U* = >(ea P.)* =Xe-tai P i=1 i=1 となります。すると, となのU*U = i=1 ーiai Pi e ei0s Pj e(a;-a) P,P, = elay-a) 5ig Pj = こn- 三 i,j=1 i,j=1 i=1 となり,ひはユニタリー作用素だとわかります。 (証明終) これから,H をハミルトニアンとして, U(t) := exp Ht とすると,U(t) はtERをパラメータとするユニタリー作用素です。 このユニタ リー作用素には,状態の時間をtだけ進める意味があります。 今,時刻0における 純粋アンサンブルの状態がo €eHだったとして, teRをパラメータとする状 態を 少(t):=D U(t)b) とします。Hのスペクトル分解を H=>E,B j=1 とすると、 U(t) = > -iEjt/hP; e j=1 なので, le-tEjt/hp, dt j=1

材料力学です。 わからないので教えてほしいです。

レポート課題5-1 1879年にフランスで製作され、1960年まで1 mの基準として用いられ たメートル原器は、全長に一様に作用する自重に対してその両端が水 平を保つように、スパン中央に対して対称な二点で下図のように支持 されていた。このとき突出長さaを求めよ。 W BA a 1 図中央に関して対称な二点支持はり Department of Systems Design for Ocean-Space YNU レポート課題5-2 下図のように左端で単純支持され、左端から距離の位置においてばね 定数kのばねで支持されている桁橋の支持点間に等分布荷重wが作用す る。このとき、ばね支持点から右に長さaだけ突出している部分の先端 が上下に変位しないためには、ばね定数kをいくらにすればよいか。桁 橋の曲げ剛性をEIとする。 a 図右端が不動点となるばね支持はり(分布荷重) Department of Systems Design for Ocean-Space YNU レポート課題5-3 下図に示すように、水平床の端Cより真直棒ABを突き出すとき、自重 によってBC部分は垂れ下がり、CD部分は床より浮き上がる。にのCD 、BC部分の長さをそれぞれ,,2とするとき、比4:½を求めよ。(ヒン ト:CD間を両端単純支持のはりとみなし、CD間の自重を等分布荷重 として受ける場合とCB間の自重をC点の曲げモーメントとして受ける 場合を合成し D点でたわみ角がゼロとなる条件を考えよ へ D C B b 図水平床から突き出したはり Department of Systems Design for Ocean-Space YNU

材料力学です。 わからないので教えて欲しいです。

レポート課題5-1 1879年にフランスで製作され、1960年まで1 mの基準として用いられ たメートル原器は、全長に一様に作用する自重に対してその両端が水 平を保つように、スパン中央に対して対称な二点で下図のように支持 されていた。このとき突出長さaを求めよ。 W BA a 1 図中央に関して対称な二点支持はり Department of Systems Design for Ocean-Space YNU レポート課題5-2 下図のように左端で単純支持され、左端から距離の位置においてばね 定数kのばねで支持されている桁橋の支持点間に等分布荷重wが作用す る。このとき、ばね支持点から右に長さaだけ突出している部分の先端 が上下に変位しないためには、ばね定数kをいくらにすればよいか。桁 橋の曲げ剛性をEIとする。 a 図右端が不動点となるばね支持はり(分布荷重) Department of Systems Design for Ocean-Space YNU レポート課題5-3 下図に示すように、水平床の端Cより真直棒ABを突き出すとき、自重 によってBC部分は垂れ下がり、CD部分は床より浮き上がる。にのCD 、BC部分の長さをそれぞれ,,2とするとき、比4:½を求めよ。(ヒン ト:CD間を両端単純支持のはりとみなし、CD間の自重を等分布荷重 として受ける場合とCB間の自重をC点の曲げモーメントとして受ける 場合を合成し D点でたわみ角がゼロとなる条件を考えよ へ D C B b 図水平床から突き出したはり Department of Systems Design for Ocean-Space YNU

量子力学・スピンハミルトニアンの時間発展について質問です。(1)〜(3)までは画像2枚目のように解いたのですが、(4)(5)の計算がとても煩雑になってしまいました。この方針で大丈夫なのでしょうか？また、(6)が分かりません。どのように考えればよいのでしょうか？

II. 図3のように番号;= 1,2,3で区別される3つのスピンがあり、それぞれ2軸方向に上向 きと下向きの2つの状態 |0);, [1}; をとることができる。2種類の相互作用 角,。を選択的に 切り替え、1番目と2番目のスピンの状態を3番目のスピンによって制御する。簡単のためプ ランク定数を2で割った定数んを1とし、相互作用白,白および時間tを無次元量として取 り扱う。 自。 ○ン 0 9 三 図3 ここで、1は恒等演算子、9, o9は番目のスピンの演算子,の行列表現である。各演 算子は10); = |0):, of° |1}; = -|1); を満たす。また、3つのスピンからなる状態を|1,0)|0}= |1);|0)2|0)s などと記すことにする。 (1) (),(o)°, of o) + ooを計算せよ。 (2) 9 を 10);, |1);に作用させた結果をそれぞれ示せ。 C○ (3) 白のもとでの時間発展演算子む(t) = exp(-8白t) = とーを白t)”が n! n=0 0(t) = cos° (t)i - sin° (t)a{)a£) + icos (t) sin (t)(o{) + )) を満たすことを示せ。ただし、一般に可換な演算子A, Bについて、e(4+B) - eáeb が成り 立つことに留意せよ。 (4) 白のもとで時間む、続いてのもとで時間tzだけ相互作用したときの時間発展は ()()= exp(-iHnt) exp(-iAt)と記述される。10,0)|0), I0,1)|0), |1,0) |0), |1, 1)|10) の4つの状態がひっ(n/4)0,(m/4) の時間発展をしたあとの状態をそれぞれ書き下せ。 次に、ある状態() = a|0,0) |0) + |1,1}10} (a, 8 は定数)を用意したところ、予期せぬ相互作 用により、1番目のスピンが微小回転してしまい、状態|)= VI-) + €)に変化し た。eの具体的な大きさは分からないが、状態|)をもとの状態」)に戻したい。 (5) 状態」)を問(4) のD2(T/4)ü,(T/4) によって時間発展させると、 Us(r/4)(r/4)) = \)) + i¢)10) という状態に変化した。1番目と2番目のスピンからなる状態|), o)をそれぞれ具体 的に書き下せ。 (6) 問(5) の状態に対し、3番目のスピンの測定をおこなうと、状態|)|1) と状態|o)|0)の いずれかが得られる。それぞれの状態に対してさらに個別にある演算子を作用させると、 微小回転量eの情報なしに状態 |) に戻せる。各状態について必要な演算子を答えよ。

物性物理学の本を読んでいて、質問があります。 本では， 量子力学による1電子原子の電子状態の記述について 添付のように述べていて， (1.12)式までは良いのですが， 赤枠で囲ったところの式(1.13)の導出過程が知りたいです。 よろしくお願いいたします。

$1.2 1電子原子の電子状態 1 p° = 2me 2 a 1 V= 2m。 2m。(r+ r dr 原子においては,原子核を中心としてそのまわりの半径10-10m程度の領 の形となる。ここでAは次のような角度に関する微分演算子である。* 域を電子が運動している。原子の構造を理解するためには,この電子の振舞 1 sin 0 d0 1 を調べなくてはならない。まず最も単純な場合として,Ze の正電荷をもった A= - (sin 0 sin' 0 核のまわりを,1個の電子が運動している場合を考える。Z=1であればこ 1電子原子のハミルトニアンがこのように具体的に与えられた.このハミル れは水素原子そのものであり,Z =2であれば He* イオンということにな トニアンに対するシュレーディンガー方程式(1.9) は2階の微分方程式の形 る。 をしている。これを満たす解として波動関数T(r, 0, φ) が求まれば,1電 原子の質量のほとんどは核に集中しているので、そこを重心として座標の 子原子における電子の分布の様子がわかる。ところで,原子に属する電子の 原点にとってさしつかえなかろう。電子は -e の電荷をもち,核の正電荷 波動関数は,核から十分遠方(r→0)ではゼロに収束するはずである。こ Ze とクーロン相互作用をもつ。そのポテンシャルエネルギーは電子と核の のような境界条件の下で(1.9)式を考えると,電子のエネルギー固有値 E が 間の距離rに反比例し, 離散的な特定の値をとるときのみ解が存在する。これは量子力学系の顕著な Ze? V(r) = - 特徴である。 4TE0ア 最も低いエネルギー固有値を与える解は球対称で、次の形をしている。 である。* これは万有引力と同じ形をもつので,古典的に考えれば,地球が 17Z/2 ( exp(-) 太陽のまわりを回るように電子は核のまわりを楕円軌道を描いて回ると考え 『(r) = たくなる。しかしながら,このような極微の世界まで古典ニュートン力学が ただし,ここで そのまま成立するわけではない,電子の振舞を正しく理解することは,今世 4TEh An = mee? =0.529 A 紀初頭登場した量子力学をもってはじめて可能となった。量子力学によると, 電子の存在確率は波動関数 『(r)の絶対値の2乗に比例する。定常状態では 『(r)は次のシュレーディンガー方程式を満たすというのが量子力学の骨子 はボーア半径とよばれる。 である。 H V (r) = ET (r) ここで はハミルトニアンで,電子の運動エネルギーとポテンシャルエネ ルギーの和であり, 1 p°+ V(r) 2m。 H = の形をもつ。** 第2項のポテンシャル項は方向によらず,核からの距離のみ に依存するので,全体を極座標を用いて表した方が都合がよい。このとき, 第1項の運動エネルギーの部分は Eo = 8.8542 × 10-12 F/m は真空の誘電率。 m。は電子の質量,p= - iAVは運動量オペレータである。ただし,▽はナプラと読 み,直交座標系では 定,立,えを直交する単位ペクトルとして、V= -+ の形をもつ微分演算子である。カ = h= 6.626× 10-4JSはプランク定数。

zに対する変分δI₁の出し方がわかりません、教えてください

2 一般相対性理論 i番目(i=1, 2, ……, N) の質点の座標を z"(ri) あるいは略して z(i), 固有時を T () は dz"(ri)ldriを表わす。 また g() とは gpola(i)) のことである。このI さて(2.43) の 2(i) に対する変分を計算してみよう.ここでながi番目の粒 となる。したがって Isは, 任意の座標変換に対してその値が不変, つまりス またその質量をmi とすると, この物理系の全作用積分Iはつぎのようになる: 27 ここでムは Iム=-2mcv-gm()P()E(Hdru (2.43) は次のようにかくこともできる: I、= -2mc||v-g()を()ぜ(みのー2(i)dzid"a. (2.43)) 1 Iはつぎの量である: =1 Jadu 1 1 I,= - 2cK. -g·Rd*a. (2.44) ミ 2cK, 一般にテンソルにV-gのかかった量をテンソル密度とよび, それをもとの テンソルと区別するために花文字で表わすことにする。特に上にでてきたRの ように,スカラーRにV-gのかかった量をスカラー密度とよぶ。 座標変換 →'に対してスカラーは R(x) = R'(x') であるが,スカラー密度は, V-gという量がついているために R(r) = R(®,.) (2.45) あるいは簡単に al2) という関係をみたす。 (2.45) から (e co)5 (2.45) R(x^)d*a' = R(2)d*x = スカラー カラーである。 子の固有時であることに留意すると

力学・基準振動についての問題です。 (4)以降が分かりません。 (4)のように異なる固有角振動数の問題ではどのようにして基準振動を考えればよいのでしょうか？ (5)以降は同期現象だと思うのですが、どのように解けばよいのでしょうか？ちなみに(5)はΔω=2Ksin(Δφ＊)と... 続きを読む

以下の問I、IIに答えよ。 また、結果だけでなく、導出過程も簡単に記すこと。 I長さの異なる紐をもつ二つの振り子の問題を考える。図1の ように』軸の正の方向を鉛直下向きとし、振り子の支点は2軸 上にあるとする。それぞれの振り子につけられている質量m のおもりは鉛直下向きに重力を受け、2軸に垂直な面内を運動 する。紐の長さはそれぞれい,であり、4>&とする。おも りの大きさや紐の質量は無視でき、運動の際に組はたるまな いとする。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。 まず、支点でのまさつの効果を無視し、二つの振り子が独立に運動する場合を考える。紐の長 さがん,&の振り子の振れ角を、図1のように支点を通る鉛直下向きの軸となす角度として、そ れぞれ1,2とする。 図1 (1) 紐の長さが1の振り子のz軸まわりの角運動量 L。を求めよ。 (2) z軸まわりの角運動量 L,の時間微分の満たす方程式を示せ。 (3) が十分小さい微小振動のときの固有角振動数 w」を求めよ。 次に、二つの振り子の角度間に線形の相互作用がある系を考えよう。すなわち、Jを定数とし て、角度6,2 の運動方程式が d? =-w +J(B2 - h), d2 2= -5 + J(G,- Ba), と表せるとする。ここでwとwaは相互作用がないときの振り子の固有角振動数である。 (4) (t = 0) > 0, 0z(t = 0) = 0から静かに運動を始めるとき、その後の運動を基準振動の考 え方を用いて定性的に説明せよ。 dA dp 0, dt 振り子の角度0を振幅 Aと位相ゅを用いて0= Acos ¢ と表すと、単振動は、 と表される。ニつの振り子間に非線形相互作用があるとき、二つの振り子の位相1と2の時 間発展は上記のwiとw2を用いて次のように表せるとする: =W dt d の1=wi+ K sin(¢2- ), d 2= w2+ K sin(¢- p2). dt dt ここでKは定数とする。二つの位相の差 △¢ = 2- のが時間依存せずに一定の値をとること を「位相が同期する」という。 (5)位相が同期するときの位相差△がと固有角振動数の差 Aw = w2-wiの関係を求めよ。 (6) 位相が同期するときの振り子の角振動数”を求めよ。 (7) 位相差 AゅがAがから微小にずれても、十分時間が経った極限で位相が同期する条件を導 き、その条件をKとAwを軸とする平面上の領域として図示せよ。

力学・剛体の問題です。 (1),(2)は恐らくこれかな？という解を求めましたが、(3)以降が分かりません。

以下の問1, II に答えよ。 zA I. 質量m、半径r、厚さ、高さんの密度が一様な剛体とみなせる円 筒(図1)が、水平な床の上を初速度の大きさ 、初角速度の大きさ woで投げ出され、倒れずに滑っていく運動を考える。円筒底面の中 心を原点とし、円筒とともに移動する座標系のz, y, z 軸および偏角 9を図1のように定義する。y軸の正の向きは常に円筒の進行方向と する。偏角0の位置にある円筒底面が床から受ける単位面積あたり の垂直抗力の大きさ N(0) と動摩擦力の大きさ F(6) の間には、μを 動摩擦係数として比例関係 F(6) = μN(0) があるとする。 b 図1 重力加速度の大きさをgとし、重力はz軸の負の向きに働く。また,円筒の厚さ6は半径rよ り十分小さいとする。空気抵抗の影響は無視して、投げ出された円筒の運動に関する以下の問 いに答えよ。 まず、回転させないで円筒を投げ出す場合 (wo = 0) を考える。 (1) 投げ出した円筒の底面全体が受ける垂直抗力および動摩擦力の大きさを求めよ。 (2) 投げ出した円筒が動摩擦力を受けて静止するまでの距離を求めよ。 (3) 円筒に働く慣性力による原点まわりのトルクの大きさを求めよ。 (4) 投げ出した円筒が床の上を滑っているとき、円筒底面に働く垂直抗力は一様ではない。円 筒の前方(0 =T/2付近)と後方 (0 = ーT/2付近)のどちらの垂直抗力が大きいか、理由と ともに答えよ。 以下では、円筒底面に働く単位面積あたりの垂直抗力の大きさが N(0) = a+ Bsin0 と表せる と仮定する。ここでa,Bは定数とする。 (5) 垂直抗力による原点まわりのトルクの大きさをa, 8, r, bのうち必要なものを用いて表せ。 (6) 円筒が倒れずに滑っていくための条件をん, r, uを用いて表せ。 次に、右回り(z軸の正の向きから見て時計回り)に回転させて円筒を投げ出す場合(wo 0) を 考える。 (7) この円筒のz軸まわりの慣性モーメント「および円筒とともに移動する座標系での投げ出 した直後の運動エネルギーを求めよ。 (8) 円筒底面に働く動摩擦力の0依存性により、円筒の軌道は曲がる。その曲がる向きを理由 とともに答えよ。

解法を教えてください

課題1.区別可能な N個の原子からなる固体を考える。 各原子が角振動数 wで振 動しており、系全体のエネルギーEがMを整数として E Nhw + Mhw と表される場合、エネルギーと系の温度Tの間に次の関係式が成立すること を示せ。(kgはボルツマン定数) E=N hw + ehw/kaT _1