力学・基準振動についての問題です。 (4)以降が分かりません。

物理

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

3年弱前

力学・基準振動についての問題です。
(4)以降が分かりません。
(4)のように異なる固有角振動数の問題ではどのようにして基準振動を考えればよいのでしょうか？
(5)以降は同期現象だと思うのですが、どのように解けばよいのでしょうか？ちなみに(5)はΔω=2Ksin(Δφ＊)と求めました。

以下の問I、IIに答えよ。また、結果だけでなく、導出過程も簡単に記すこと。 I長さの異なる紐をもつ二つの振り子の問題を考える。図1のように』軸の正の方向を鉛直下向きとし、振り子の支点は2軸上にあるとする。それぞれの振り子につけられている質量m のおもりは鉛直下向きに重力を受け、2軸に垂直な面内を運動する。紐の長さはそれぞれい,であり、4>&とする。おもりの大きさや紐の質量は無視でき、運動の際に組はたるまないとする。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。まず、支点でのまさつの効果を無視し、二つの振り子が独立に運動する場合を考える。紐の長さがん,&の振り子の振れ角を、図1のように支点を通る鉛直下向きの軸となす角度として、それぞれ1,2とする。図1 (1) 紐の長さが1の振り子のz軸まわりの角運動量 L。を求めよ。 (2) z軸まわりの角運動量 L,の時間微分の満たす方程式を示せ。 (3) が十分小さい微小振動のときの固有角振動数 w」を求めよ。次に、二つの振り子の角度間に線形の相互作用がある系を考えよう。すなわち、Jを定数として、角度6,2 の運動方程式が d? =-w +J(B2 - h), d2 2= -5 + J(G,- Ba), と表せるとする。ここでwとwaは相互作用がないときの振り子の固有角振動数である。 (4) (t = 0) > 0, 0z(t = 0) = 0から静かに運動を始めるとき、その後の運動を基準振動の考え方を用いて定性的に説明せよ。 dA dp 0, dt 振り子の角度0を振幅 Aと位相ゅを用いて0= Acos ¢ と表すと、単振動は、と表される。ニつの振り子間に非線形相互作用があるとき、二つの振り子の位相1と2の時間発展は上記のwiとw2を用いて次のように表せるとする: =W dt d の1=wi+ K sin(¢2- ), d 2= w2+ K sin(¢- p2). dt dt ここでKは定数とする。二つの位相の差 △¢ = 2- のが時間依存せずに一定の値をとることを「位相が同期する」という。 (5)位相が同期するときの位相差△がと固有角振動数の差 Aw = w2-wiの関係を求めよ。 (6) 位相が同期するときの振り子の角振動数”を求めよ。 (7) 位相差 AゅがAがから微小にずれても、十分時間が経った極限で位相が同期する条件を導き、その条件をKとAwを軸とする平面上の領域として図示せよ。

力学振り子基準振動同期現象

回答

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Crystal Clear

3年弱前

(4)は
https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0II%2F%E9%80%A3%E7%AB%8B%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
などを参考にしてください

Crystal Clear 3年弱前

ΔΦのΔΦ*まわりの微小変化だから、ΔΦ*まわりでテイラー展開してください

てすら 2年以上前

(5)以降の解説ありがとうございます。
(4)はリンク先を読んでも解法が分からなかったので、ω1=ω2と簡単にしてから考えてみました。(途中までですが)

Crystal Clear 2年以上前

解答としては定性的でよいとあるので

J=0のときは基準振動(固有モード)が(1,0),(0,1)で二つの振り子が独立に動く2つのモードの重ね合わせとなる。
θ2(0)=θ2'(0)=0だからθ2(t)=0となる。
J≠0のときは基準振動(固有モード)が(1,0),(0,1)でない二つのモードの重ね合わせになり、θ1とθ2は独立ではない。
そのためθ2もθ1の運動と連動して動く。

こんな感じでしょうか。