確率の勉強をしている学生なのですが、この問題が分かりません。どなたか教えていただけませんか。

練習問題 1.8 (積率母関数) X を非負の確率変数とし, x(t) = Eetx は全てのt∈ に対して有限であると仮定する.さらに,全てのt∈ R に対し E [XetX] < ∞ であると仮定する.この練習問題の目的は, '(t) = E [Xetx] で あり、特に'(0)=EX であることを示すことである。 微分の定義, すなわち次式を思い出そう. 4'(t) = lim x(t) - (s) lim st t-s st EetxEesx t-s 「etx = lim E st t-s 上式の極限は,連続な変数sについて取っているが,t に収束する実数列{8}n=1を 選ぶことができ, 次を計算すればよい. 「etx e³n X lim E sn→t t-Sn これは、次の確率変数の列 etx -enx Yn = t-Sn の期待値の極限を取っていることになる.もしこの極限が, t に収束する列{Sn}=1 の選び方によらず同じ値になるならば、この極限も limotE [ex と同じで,そ れは '(t) である. .tx sx ← -e t-s 解析学の平均値の定理の主張は,もしf(t) が微分可能な関数ならば、任意の実数 s ともに対し,stの間の値の実数0で次を満たすものが存在するというものである. f(t)-f(s) =f' (0) (t-s). もしweΩを固定し,f(t) = etx(w) を定義すると,この式は, etX(w)_esx(w)=(t-s) X (w)e (w)x(w) (1.9.1) となる.ただし,(ω) はωに依存する実数 (すなわち,tとsの間の値を取る確率変 数)である. (i) 優収束定理 (14.9) (191) 式を使って,次を示せ. lim EY = Elim Yn=E [XetX] . (1.9.2) n→∞ [n→∞ このことから,求める式 4'(t) [XetX ] が導かれる. (ii) 確率変数 X は正の値も負の値も取り得、全てのt∈Rに対し Eetx < かつ E [|X|etX] < ∞ であると仮定する。 再度 '(t) = E [XetX] を示せ(ヒント: (1.3.1) 式の記号を使って X = X + - X- とせよ . )

多様体を構成するために、位相空間に完全アトラスを導入するところで質問です。 完全アトラスを導入するメリットとして、この文章の下線部を「異なる座標系を用いたのに同じ計算ができてしまうという問題が解消される」解釈したのですが、そこがよくわかりません。座標系を変えて計算する... 続きを読む

1 Two n-dimensional coordinate systems & and ŋ in S overlap smoothly provided the functions on¯¹ and ŋo §¯¹ are both smooth. Explicitly, if : U → R" and ŋ: R", then ŋ 1 is defined on the open set ε (ur) → ° (UV) V and carries it to n(u)—while its inverse function § 4-1 runs in the opposite direction (see Figure 1). These functions are then required to be smooth in the usual Euclidean sense defined above. This condition is con- sidered to hold trivially if u and do not meet. Č (UV) R" Ĕ(U) n(UV) R" S n(v) Figure 1. 1. Definition. An atlas A of dimension n on a space S is a collection of n-dimensional coordinate systems in S such that (A1) each point of S is contained in the domain of some coordinate system in, and (A2) any two coordinate systems in ✅ overlap smoothly. An atlas on S makes it possible to do calculus consistently on all of S. But different atlases may produce the same calculus, a technical difficulty eliminated as follows. Call an atlas Con S complete if C contains each co- ordinate system in S that overlaps smoothly with every coordinate system in C. 2. Lemma. Each atlas ✅ on S is contained in a unique complete atlas. Proof. If has dimension n, let A' be the set of all n-dimensional coordinate systems in S that overlap smoothly with every one contained in A. (a) A' is an atlas (of the same dimension as ✅).

画像の4.2の問題の解き方を教えてください。

106 K M X(T) M. F sin (NT) (1)X 100 -100 ( XImax 80 0 0 4 Dimensional Scaling Analysis + KX = F sin (2T), X(0) = Xo, 1 n 2 10 T 3 Fig. 4.1 The elementary problem of a mass on spring with an applied force: (Left) dimensional parameters, (Right) solutions X(T) for various parameters and (Inset) the amplitude in relation to the forcing frequency ada 4.2 The governing equation for the linear mass-spring system shown in Fig. 4.1 is d²X dT² dX dT\T=0 20 = Vo, where X(T) [m] is the position of the mass as a function of time with mass M [kg], and spring coefficient K [N/m], magnitude of the applied force, F [N], forcing frequency, 2 [s], as well as general initial conditions, Nondimensionalize and select length- and time-scales L, T to normalise the coef- ficients of the terms on the left side of the ODE and the initial condition for position. Write and solve the scaled problem, and identify the dimensionless parameter for the ratio of the forcing frequency to resonant frequency, where the solution's amplitude grows without bound, as shown for 22 in Fig. 4.1. 4.3 Consider the initial value problem for a damped driven nonlinear oscillator:

画像の問題を教えてください！

106 K M X(T) M. F sin (NT) (1)X 100 -100 ( XImax 80 0 0 4 Dimensional Scaling Analysis + KX = F sin (2T), X(0) = Xo, 1 n 2 10 T 3 Fig. 4.1 The elementary problem of a mass on spring with an applied force: (Left) dimensional parameters, (Right) solutions X(T) for various parameters and (Inset) the amplitude in relation to the forcing frequency ada 4.2 The governing equation for the linear mass-spring system shown in Fig. 4.1 is d²X dT² dX dT\T=0 20 = Vo, where X(T) [m] is the position of the mass as a function of time with mass M [kg], and spring coefficient K [N/m], magnitude of the applied force, F [N], forcing frequency, 2 [s], as well as general initial conditions, Nondimensionalize and select length- and time-scales L, T to normalise the coef- ficients of the terms on the left side of the ODE and the initial condition for position. Write and solve the scaled problem, and identify the dimensionless parameter for the ratio of the forcing frequency to resonant frequency, where the solution's amplitude grows without bound, as shown for 22 in Fig. 4.1. 4.3 Consider the initial value problem for a damped driven nonlinear oscillator:

画像のQ3　(B)と(C)に関しての質問です。 (b)√2がℚ√3　[a+b√3❘a,b∈ℚ]　の要素でないことを示せ (C)φ : (Q(√2) − {0}, ×) → (Q(√3) − {0}, ×)とφ : (Q(√2), +) → (Q(√3), +)が同型写像... 続きを読む

3. (16 marks) Given a prime number k, we define Q(√k) = {a+b√k : a,b ≤ Q} ≤ R. This set becomes a field when equipped with the usual addition and multiplication operations inherited from R. (a) For each non-zero x = Q(√2) of the form x = a - a a+b√2, prove that x-1 b = ²-26² a²26² √2. -262 (b) Show that √2 Q(√3). You can use, without proof, the fact that √√2,√√3, are all irrational numbers. (c) Show that there cannot be a function : Q(√2)→ > Q(√3) so that : (Q(√2) - {0}, ×) → (Q(√3) − {0}, ×) and 6 : (Q(√2), +) → (Q(√3), +) are both group isomorphisms. Hint: What can you say about (√2 × √2)?

すみません。なにも理解していません。教えていただけると嬉しいです。

n 30%の確率で不良品を作ってしまう工作機械があるとする.この機械が製品を4個作った とき,そのうち2個が不良品である確率はいくつ また,不良品が2個以下である確率はいくつか。 演習問題 六郎で、通続型 十 類の回さ) 不良品が2個の確率 本ロ p n

この問題が全然わかりません 早めに解きたいので心優しい方教えてください お願いします🤲

X を連続確率変数とする. . ・p(x) を確率変数 X の確率密度関数 (probability density function, 以下ではpdfと略す) とする. p(x)は次式で定義される. P(x < X ≦ x + Ax) p(x) = lim- (4-6*) 1x10 AX 注: P() は確率,p() は確率密度関数を表す.

この問題の解き方が全く分かりません。 心優しい方どうか教えていただけないでしょうか？ お願いします🤲

確率密度関数の定義 を連続確率変数とする. (x)を確率変数 X の確率密度関数 (probability density function, 以下ではpdfと略す) とする. (x)は次式で定義される. P(x < X ≦ x + △x) A x (4-6*) p(x)=lim- △x → 0

統計学の質問です。 この画像のF(x,y)が微分可能である時とありますが 全微分可能ということでしょうか。 しかし全微分可能だけではF(x,y)の一回偏微分可能ということしか言えませんよね？ C^2級ということでしょうか。 それとも2回全微分可能ということでしょうか。 2... 続きを読む

または条件付き期待値(conditional expectation)という、 で表し,Y= ykを与えたときのXの条件付き分散 (coná vIXlv VIX A]= V[X]Y=y4] =D {(- ELXlya}}fhka, E[Xl»_ を与 れる。こ を :の条件 VIXIA]= V[X|Y=リx」 = -EX{}Aa EIXI»】 j=1 =L 分散についても同様に定義される。 [C] 同時分布が密度型の場合 同時分布関数 F(x, y) が微分可能であるとき, 共分能 )の関 f(x, y) = F(x,y) 0.z0y を(X, Y)の同時密度関数(joint density function)という.こかイじ P の確率変数の密度関数と同じように次の性質が成り立つ: E (Dnl) f(z, y) > 0. E (Dn2) (x, ) dady = 1. E1) - (Dn3) 分布関数は F(x,y) = | [° f(u, v) dudv. 関数 X, Y の周辺密度関数は,それぞれ X, (x) = (x,w) dy. (w) =D " 1(は,9)) となる。

統計学の質問です。 画像のDn1は証明できるものなのでしょうか。 教科書には「このとき1次元の確率変数の密度関数と同じように次の性質が成り立つ」とかいてあるので証明できるものなのではないのでしょうか。 また証明できるのであれば証明を教えていただけないでしょうか。 ちなみにF... 続きを読む

で表し,Y= ys を与えたときのXの条件付き を VIXla] = VIX|Y =ム]=D(x)- E[Xlva])°{(z;)lux) で表し,Y= ye を与えたときのXの条件付き分散 (conditional vari. ance)という、Xを与えたときの Yに関する条件付き分布や条件付き平均 分散についても同様に定義される。 [C] 同時分布が密度型の場合 同時分布関数 F(z, y) が微分可能であるとき, f(x,9) F(x,y) Oc0y 三 を(X, Y) の同時密度関数(joint density function)という. このとき1次元 の確率変数の密度関数と同じように次の性質が成り立つ: (Dnl) f(x, y) > 0. (Dn2) (x,y) dedy =1. (Dn3)分布関数は F(z,y) = | f(u, 0) dudv. X, Y の周辺密度関数は,それぞれ A(z) = (z,2) dy. Aw)=Dfa,w) de (x, こなる。