⑵を教えてください。

② 187 次の不等式を解け。 (1)*√2x-1≧x-2 (3) √3-x ≤x-1

①②の連立で、両辺正を証明せずに2乗ができた理由を教えてください。 右辺は必ず正になるのでしょうか。

例題 85 曲線 y=√2x-3 思考プロセス 共有点の個数 図で考える 1/11 無理関数のグラフと直線の共有点の個数 →2x-3=ax-1 の実数解の個数と一致するが, 両辺を2乗すると無縁解が現れ、考えにくい。 ② : y = ax-1 はどのような直線か? 0= →点(0,-1)を通り,傾きαの直線 共有点の個数が変化する境目となるαの値を求める。 Action》 無理関数のグラフと直線の共有点の個数は, グラフの特徴から考えよ - RE 3 解 ① を変形すると y = √2x-3= √2(x-2). また, y = ax-1 は定点(0,-1)を通り,傾きαの直線 を表す。 (ア) 直線 ② が点 (1,0)を通るとき 34 22 ･①と直線y=ax-1... ② の共有点の個数を調べよ。 ... 2 3 (イ)直線②が曲線 ① と接する とき ① ② を連立すると √2x-3=ax-1 両辺を2乗して, 整理すると a2x2-2(a+1)x+4=0 ・③ グラフより明らかに a>0 であるから, 2次方程式 ③ の 判別式をDとするとD=0 e Gra C347AM D の友 3 2-1 より a= a ≦a <1のとき 10<a< 3 la ≦ 0, 1 <a のとき 2 9 心 = (a + 1)² - 4a² = − (3a+1)(a − 1) (3a+1)(a-1)= 0 a = 1 よって a>0 であるから 81305 ア), (イ) と ①,②のグラフより、共有点の個数は y=√2x-3 O 3/1 ま 曲線 y=√4-2① 53-2 y=ax-1/(イ) a=1のとき 1個 ya y = ax-] 0 個 CÂU ÂU CÓ LỖI MÀ RA, CO し館 G x ②の値が()のときより小 さく,0より大きければ, 共有点は1個である。 218 37 15% (10.5 ① 友時代 la の値が (イ) のときより大 きければ, 共有点はない。 6 ² 0 であるから、③は 必ず2次方程式であるこ とに注意する。画 a= のときは次の 3 方式 図のような状態である。 ① ya =1+2 O NAJTIMI I

四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) ST (2) √√x²+1 dx S 基本220 指針根号内が2次式の無理関数について、d-x"や、x+αを含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが, 後者の場合, 計算が面倒になることが 1 √x²+1 CHART x+Aを含む積分 ゆえに -dx ある(次ページ参照)。そこで,x+A (Aは定数) を含む積分には, xx =tとおく(･････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)√x+1=(x^x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 よって 解答 (1) x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt x2+1+x √x2+1 ゆえに 1 x2+1 -dx = dt すなわち -dx= x+√x+A=tとおく 1 x2+1 dt したがって dt = log|t|+C エージール S= x=Sdt=log|t|+C x2+1 =log(x+√√x²+1)+C (2) Svx+1dx=f(x)'√x+1dx=xvx°+1-$x+1 -dx 20%==x√x²+1 =√x²+1=1 dx ***©>=x√x² +1 −√(√x ² + 1 -dx =x√³x² + 1 - S√x² +1dx +S- f(x+1+1 -dx=dt 練習 (4) 4 221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 (1) S dx 100 x2+1 1 10²1²_2√√x²+1dx=x√x²+1 + √√√ ₂ ² + 1 x dx √x²+1 *₂= √√x² +1dx = = = ( x√x² +1+√√√₂+²+1² (1)の結果から 00000 -dx (2) √√√x²² +₂²₁ .2 <(√x2+1)^ ={(x²+1)²}' = = 1/(x²+1)¯ ¾ • (x²+1)′ 2x -= 2√√x²+1==√x²³+1 <√x2+1>√x2=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 <x2+1=(√x2+1)^2に着目 して,分子の次数を下げる。 fx-1dx=1/12(xv/x+1+log(x+√x+1)}+C 同形出現。 → p.363 の解答で Ⅰ を求 めるのと同様の考え方。 x+√x+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して、次の不定積分を求めよ。 に (1) の結果を利用。 よって Am

黄色い線を引いているところが分かりません。 〜の一次式、完全平方式の語句の単独の意味は理解しているつもりです。

56 より, 0-1 x2+axy+3y²-3x-5y+2がx,yの1次式の積となるように、 定数αの値を定めよ. 112-m (1) xの2次方程式x2+axy+3y²-3x-5y+2=0 .....① の判別式をDとすると,①の解は, x2+(ay-3)x+3y²-5y+2=0 x==(ay-3) ± √D a と式変形できる. 2 したがって, 与式は, (5x) = (x − − (ay_3) + √D}{x__(ay-3)-√D 2 20 D1 4 より, 2a²-15a+28=016 38549 (a-4) (2a-7)=0 7拡方程式 よって、a=4, 20, がただて tits =1+x+ D=(ay-3)2-4(3y²-5y+2) =(a²-12)y2-(6a-20)y+1 α²-12 = 0 つまり, α=±2√3のとき, Dがyの1次式に なるから√Dはyの1次式とはならないので,不適. HOM したがって, a≠±2√3 で, 与式がx,yの1次式の積に なるのは,Dがyについての完全平方式となるときである。S つまり, (a²-12)y-2(3a-10)y+1=0 の判別式を D と すると,求める条件は, Di=0 である. 1=(3a-10)²-(α²-12)=8a²-60α+112 = 0 101 0=(1-1) (70) 04-2([+B)(-6)=0 xについて整理 解の公式を用いる. 共 10.2mm S 0110 などでもよい Party A the Dが完全平方式のとき, D=(1次式) 2②は |1次式| yについての2次方程式 5)A て考える. [+p=p D+³0=(1+5) D=DXD=D S+DE=+( Ita≠±2√3 を満たす. のとき√D=2y- をもつと足α=4 2つの2次方程式 12/2のとき、 a= p+(I+y)+(1+p2 +(√D=12/21y-21 +(I+p)+(1+ps+(√D= とお

無理関数の積分は置換しなければ計算できないのですか？

積分です。赤いところは何でしょうか。また、どうやって求めた？のでしょうか。

根号を含む弍し無理関数)、三角関数を含む式の積分は、適 当な変数変換で有理式の積分に帰着できる (例)無理関数 1 I s x+2√x=1 「x1 とおくと t I=S || = 2t +2+1+2t af 2 ttl dt dxc dt = 2 x = t²tl₂ 2t (++1)= dt (++1)= 2tdt=dx dt= s =2loglttll+ 2(t+1)=2 dt (t+1)= ttl C

(数III) 無理関数を習ったのですが、先生の講義、とくにノート波線部がよく分かりませんでした。 ルートの中身が０以上と言えるのはyが実数と初めに定義しているときではないのですか？ つまり、a>0, y実数 のとき ax≧0 ではないのかなーと思いました。 自分の√の理解が... 続きを読む

££R*X Y = √ax a>O OYE ax≧0から y = √√ax ⇒ 4². a (両辺ともに0以上) O x20, y≤0 = x (x = 0, y ≤0) y = √ax X x= 50/0

数3の無理関数です。 どうやってyの最小値を求めるのでしょうか？ xに代入は無理だし、図を見ても正確な値がわからないと思ったのでできませんでした。 教えてください。よろしくお願いします。

g=F2%+6+1 (-5<C<1) 大 小 今=-2(0-3)+| 最小値 C=1 のとき Y=3 最大値2C=-5のとき=5 ④ 344か5 の -5 1 3 登録

この問題の解説をお願いします。どの公式を使えばいいのか分からないので公式も教えて貰えると助かります

9.12 次の無理関数の定義域と値域を求めてグラフをかけ. また, 座標軸との共有 点の座標を求めよ。 (1) y= Ve+2+1 (3) y=-Vz+2+2 (2) y= -V-+2 (4) y= v3- 2z-1

マーカーで引いてるところ、言っていることが2つとも違うのですが、結局sinxはどの範囲で連続なのでしょうか。

例 (1) xの整式で表された関数や,指数関数 2*, 三角関数 sinx, 20 cos x は,区間(-8, 8) で連続である。 スー1自で (2) 対数関数1og2xは, 区間 (0, 8)で連続である。 20 x (3) 分数関数 x-1 は,実数全体のうち, x=1 を除いた2つの 区間(-0, 1), (1, o)のそれぞれで連続である。 (4) 無理関数 /x-1 は, 区間 [1, o) で連続である。 |終