✨ ベストアンサー ✨
What do you want me to do?で、
「あなたは私に何をしてほしいのですか？」
というような訳になります。
しかし、doingにしてしまうと
「あなたは私に何をしていること(状態？)を望んでいますか？」
みたいな感じでちょっと意味がおかしくなってしまいます。
たしかに「want 〜ing」は「する必要がある」なのですが、ingの前にmeがあるので、そのまんま訳すなら「私が〜する必要がある」となり、全体として
「あなたは私が何をする必要がありますか？」
となりうまく訳せません。
なので、前述のようにいろいろ変えてみますがあまりうまくはいきませんでしょう。
したがって、to doが正解でしょう。
