中学2年生です。
錐体の体積を×3分の1して求める理由を微分や積分を使わずにレポートにしなければならないんです。
それで、三角錐と四角錐の理由はわかったのですが、
円錐の理由は調べてもなかなか分からなかったので
教えて欲しいです！お願いします🤲
✨ ベストアンサー ✨
お役に立てれば幸いです！
もしお時間があれば、もう1度考えてもらえないでしょうか？お忙しいようでしたら、大丈夫ですが、、、
分かりましたー。
まとめます！
助かります！本当にありがとうございます😭
えっとー、積分とかは使わないんですけど、x (エックス)とかは使っていいんですか？
あ、使わなくてもできると思います！w
待ってくださいー。
返信が遅れてすみません。中学2年生なのでxは使っても大丈夫です🙆♀️
あと、明日にレポートを提出しなければならないので、早めに返信をいただけると嬉しいです！
相似形の性質を利用します。
相似形の図形や立体の場合、面積比は長さの２乗、体積比は長さの３乗となります。
二つの相似形の円錐ＡとＢがあるとします。Ａの高さをａ、Ｂの高さをｂとすると、ＡとＢの底面積の比は [ ａ^2 ： ｂ^2 ] となります。
よって、Ａの底面積が [ ｋａ^2 ] となる定数ｋを与えてやると、Ｂの底面積は [ ｋｂ^2 ] と表わせます。
また、ＡとＢの体積の比は [ ａ^3 ： ｂ^3 ] となります。
以上の性質を踏まえ、以下のように円錐の体積を求めます。
高さ[ ｈ ]、底面積[ ｋｈ^2 ]、体積[ ｐ ] の円錐Ｐがあります。
Ｐを高さ ｈ/2 のところで水平に（底面と平行に）切ります。
切り分けた上の側の立体は、Ｐの相似形の円錐で、長さ（高さ）が1/2なので、体積は [ (1/2)＾3 ×ｐ ] です。 （＝ｐ/8）
切り分けた下の側の立体は「円錐台」と呼ばれますが、この体積は、[ 7ｐ/8 ] となります。
次に、この円錐台から、上の側と合同の円錐をくりぬいて取り除きます。底面に丸い穴が開いていて、上面の１点に向かって円錐形にくりぬかれている状態です。
この立体をＱ、その体積を [ ｑ ] とします。
ＱはＰから ｐ/8 の円錐を２個取り除いたものなので、ｑはｐの6/8倍です。
よって、（ ｑ ＝ 3ｐ/4 ）なので、
ｐ ＝ 4ｑ/3
となります。
この立体Ｑが２個、並べてあるとします。2個は合同ですが、片方はもう片方をひっくり返した状態で置かれています。
広い方の面を下にしたものを[Ｑ1]、もうひとつを[Ｑ2]とします。
これを２個とも下からxの高さで水平に切ります（もちろん、 0≦ x ≦ ｈ/2 です）。すると、
[Ｑ1]の断面積は ｋ(ｈ－x)^2 － ｋ(ｈ/2 － x)＾2 、
[Ｑ2]の断面積は ｋ(ｈ/2 ＋ x)＾2 － ｋx＾2
となります。
この[Ｑ1]と[Ｑ2]の断面積の和を求めると、ｋｈ^2 となります。xが消えます（計算して確かめてください）。つまりどこで切っても断面積の和は同じということです。
このことから、断面積の和に高さをかけると、立体Ｑふたつ分の体積が求められることになります。
よって、立体Ｑの体積ｑは、
ｑ ＝ ｋｈ＾2 × ｈ/2 × 1/2
＝ ｋｈ＾3 × 1/4
となります。
したがって ｐ ＝ 4ｑ/3 であることから、円錐Ｐの体積は
ｐ ＝ ｋｈ^3 × 1/3 となります。
よって、円錐Ｐの体積ｐは、
底面積（ｋｈ^2） × 高さ（ｈ） × 1/3
となります。
ちょっと、まあ、僕も途中から何を説明してるのか
分からなくなったんですけど、これ書いとけば大丈夫だと思います！👍
頑張ってください！
こんなに長文を、、、ありがとうございました！
レポート頑張ります。
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ご丁寧にありがとうございます。
説明はすごくわかりやすかったです。
ですが、同じ高さの円柱の体積の3分の1が円錐の体積ということ自体はわかっていて、3分の1という
数がどこから来たのかを質問したつもりでした。私の語彙力がないせいで間違ってとらえられてしまったようです😰写真のような3分の1という数についての説明が知りたかったのですが、、、
本当にすみません！ありがとうございました！