Question

れたん

数B ベクトル

(蛍光ペンでひかれた部分が問題文です。)

ベクトルの最小値を求める問題で、赤で書かれている部分が平方完成されて、tを求めて最小値を出す、という仕組みはわかったのですが、なぜ、平方完成で求められるのでしょうか？

現在、式はどういう意味なのかが理解できず、
取り合えすこの方法で解いています。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

数学的な意味が分からないまま解くのは感心できません.
自分で分かる形に噛み砕く努力をしましょう.　
それでも分からない場合は先生や友人に質問してみることです.
***
√の中身がtの2次関数なので平方完成しているわけです.
√xは連続な単調増加関数なので合成関数である√f(t)の最小値はf(t)の最小値と一致します.
分かりにくければ|a+tb|^2の最小値を決定してから|a+tb|の最小値と一致するとしてもいいです.
***
下のように幾何学的に考えてみるとすっきりする場合が多いです.
ただしベクトル方程式をよく理解していないと厳しいでしょう.
[別解] 図形の性質を利用する.
|a+tb|は原点とa+tb=(2, 3)+t(1, -2)=(2+t, 3-2t)との距離を表している.
a+tbは直線を表しているので, 原点から直線a+tbへ下した垂線の足と一致するようなtが|a+tb|の最小値を与える.
直線a+tbの方向ベクトル(1, -2)に垂直な直線はy=x/2なので3-2t=(2+t)/2⇔t=4/5.
そのとき|a+tb|=√[{2+(4/5)}^2+{3-2*(4/5)}^2]=7√5/5が最小値となる.