Question

ゲスト

おねがいします。

平面内に優かれた半径4の細い円環内を運動する電子の最子力学を考えよう (図1.39).

ト 人上の位層を示す角度をゆとして」ハミルトニアンは
0

イー寺
ょ攻えられるものとする. ただし, 電子の質量を 7。 と書いた. 以下の間いに答えよ・

に

図1.39 質量7m。 の電子が半径 g の円環内を運動する.

状態を求め, それぞれの固有値を来

 

(1) エネルギーと角運動量 ア。ニ

めよ.
(2⑫) 規格化された波動関数
2
aco ぁ
が用意されたとしよう. 角運動量 。 を観測したとき どのような固有値が観測され

るか. また各々の値に対する確率を計算せよ.

1 のでのニラ三SmR 0に20

=の(の) = z必。。(の)
だが?
ダめ(の②) = Pck2x0(】
②        (の = -ユ寺eos26 2

V3zr 2        *直 3      3
^胡さき夏せる. これを舟運動基 ア。 の固有関数 必。 で書き直すと

(の@) = fw EE Vi -ト em
となる- 確率解収の公理から, 角之動量 。 を観測すると, ヵ,0, あぁのどれかを人
の雄率な係数 /176, /573, /176 の 2 乗で与えられ, おのおの 176,2/3,1/6・
のナがナニ は7すじ ん+Z。。て7。 = T。(
(りな+るGZ)+GZ) 0 。。

 

 

e29 」 っ

Answer 1

toriniku

固有関数ψ(φ)はハミルトニアンの固有状態なので、適当な固有エネルギーEを用いて、Hψ(φ) = Eψ(φ)が成り立ちます。この2階微分方程式を解きます。適当な規格化係数をAとして、
ψ(φ) = A exp(i √(2m_e a^2 E) φ/ h) (hはエイチバーです)
と求まります。波動関数はぐるっと周ってきたときに位相が一致していなければなりません。すなわち、ψ(φ) = ψ(2π)が成り立ちます。この条件から、
√(2m_e a^2 E) / hは整数でなければなりません。ここではmとおいて、ψ(φ) = A exp(imφ)となります（m = 0, ±1, ±2, …）。
この時、固有エネルギーEは、
E = h^2m^2 / (2m_e a^2)
と求まります。
また求めた波動関数は角運動量L_zの固有関数にもなっています。
h/i d/dφ ψ(φ) = hm ψ(φ)
最後に規格化係数Aを求めます。波動関数の絶対値2乗の積分が1に等しくなるようにAを定めます。
∫dφ |ψ(φ)|^2 = 1 (∫はφ=0から2πまで)
|A|^2 = 1
よりAを実数に取ると、A = 1 / √2π
以上で求まりました。