Question

リオ

2枚目の最後
p＝1になることが分からないので教えください。

これに関することだと思いますが、
商と余りは多項式でも整数として考えますか？

(αγ + βδ)が1以外になる可能性は無いのでしょうか？

よろしくお願いします。

拉順4
LC) = すなわち7) と969) が字いに夫のとき、ある系3) が存在して、

 

7(9 + ag)

 

@

まできる
、 このような90り立つようなod) が人する下合は (Co)) =1 とをる

 

電電

467の天に和えで、依人1 というのは償うか6しれないが、 これは偽えば (のーー
9C) =テキ1 の井は、 no) 1 2() ニーテキ1 によってで

OUOEPDPOEPYESIGSI1

 

のようにできることを訂味しでいて、すなわち、左の病欠の郭分が人縛えで
しまうことによりえのようになる、ということである

人4の放胃

NN財を利用する。 今、) = 7 お) = 9(*) と電き区しで、 を お で抽
の(の,全りを まする

 

 

のこの+(の (Weち ce人が
まな 還隊に所 を で枯った商を の(人りを の) とすると
のROOT (dmc)

まな5。 これを株り所して、休りか

 

るまころまで

(の =おmiCの(O+ (Weおasmフー12mー
太0

@ゅ

(COL) = (59.の) 1 であるから、 は0 ではない定下である。
のょの

た-たュー

 

のまうにたは信コまいで表れるが3) より

 

ームュー

 

0っ

でちるから、これを代人すれは、

 

2っ0たューのっ

であるから、これを代入すれば、

ニ太っー(-コュー 20。-3)0。-> (0。-3の>キ)太ューの。-2太3

3. 補題と定理の証明                                                          5
のように 記-。 と 万> で表される。同様に(3) より
大っ大ューが=30n4

であるからこれを代入すれば 万, が 据-。と -。 で表されることになる。 これを繰り返せば、
結局

太ニア(⑦)玉(人⑦) GO(z)太(7) ニア(z)7(7) + OZ)97)
のように表せることになる。そして、万, は 0 でない定数なので、この式を 万 で割れば

o+誠6)

となり、よって a(r) ニア(7)/所2(z) = の(?)/ とすればよい。

逆に、(2) が成り立つ場合、(/(z).9(z)) = ヵ(z) として /(z). 9(z) を p(z) で割った商を ?()。
6?) とすると、了ニィp 9 =の なので、

1

 

(y)7(7) + (7)9(z) = (7 6)

となるが、ヵ は右辺の因子なので左辺の因子でもあり、(よって因数分解の一意性により)ヵ=1
でなければならない。めゆえに (2) が成り立つならば (7(⑦).9()) = 1 となる。血

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

多項式での割り算を考える場合、商と余りはもちろん多項式ですが、このとき整数係数ではなくてもよいです。状況に応じて実数や複素数、あるいはもっと一般の環の元を係数とする多項式が登場する可能性もあります

こういう場合は公約数の内で最大のものというのが存在しえないため、普通は (f(x),g(x)) とか最大公約数などと書いてあったら次数が最大の多項式のうちモニック(=最高次の係数が1)なものを指すことが多いです。その資料にもどこかに書いてあるのではないでしょうか

リオ

これは係数のみで考えれば良いのでしょうか？
最高次が1ということは、すべて整数係数ということで大丈夫でしょうか？
また、xの値によって商も余りも整数以外になるのでは？と思ったのですが。

最高次の係数は1です、それは書いてありました。

gößt

まず、商や余りを考えるときは最高次の係数なども関係なくなります
例えば、√2x³+(1/4)x+1 をx²で割ると、商は√2x, 余りは (1/4)x+1 です
この場合は特に整数という縛りは出てこないですね

最高次の係数が問題になってくるのは最大公約数の話題になったときなどです。またこの場合でも、最高次の係数が1という取り決めがあるだけなので全て整数係数とは限りません
例えば x²+πx+1 と x²+πx+1 の最大公約数は x²+πx+1 ですし、(2x+1)(x-1) と 6x+3 の最大公約数は x+1/2 です

画像の証明はpが1の約数であることからpは0以外の実数ということが分かりますが、その中で最高次(=定数項)の係数が1であるものが1しかないため、p=1に決まるということです

リオ

なるほどです、前半部分は理解できたと思います。

申し訳ないですが、最後のpの部分だけはまだ少しもやもやした感じが残っています。

pが1の約数であること、つまりpと1の最大公約数を考えているということでしょうか？
多分ですが、なぜここで最大公約数の考え方がでてくるかがわかっていないのだと思います。

自分なりに考えてみましたが、何が分かっていないのかよく分からないです。。。
なんとなく言いたいことは分かった気がしますが、まだ附に落ちていないです。

申し訳ないですが、よろしくお願いします。

gößt

混乱の原因の１つは、最大公約数の話をしているところで私がpが1の約数と言ったからかもしれません

pと書くと多項式感が薄いので以下p(x)と書きます
p(x)はf(x)とg(x)の最大公約数というのが元々のp(x)の仮定です
それとは別のこととして、p(x)が1の約数だということが新たにわかったため、
p(x)は1の約数 → p(x)は定数項のみの多項式
& p(x)＝(f(x),g(x)) → p(x)は最高次の係数が1
⇒ p(x)=1 しかない
という論理ですね

リオ

とてもよくわかりました！

ずっと等式からp＝1になることを考えていたので分からなかったようです。

仮定と合わせて考えるのですね、納得できました！

本当にいつもありがとうございます。
とても助かっております！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)
お力になれてなによりです