Question

dividual

これ教えてください

|

72N 放物線 ーッ?二1 上の点(@ に

おける放物線の接線と放物 めこィ で
\グ 囲まれた図形の面積は 6 の値に

関係なく 一定であることを証明せよ。

SN 較較 =っ

微積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

放物線y=x^2+1の点(a, b=a^2+1)における接線の方程式はy=2a(x-a)+(a^2+1)=2ax+(1-a^2)である.
放物線y=x^2と上の接線の方程式が囲まれるためにはx^2≦y≦2ax+(1-a^2)[≦x^2+1]であることが必要十分[大小関係を言及]で,
領域内でxのとりうる範囲はx^2-2ax-(1-a^2)≦0⇔x^2-2ax+(a-1)(a+1)≦0⇔(x-(a-1))(x-(a+1))≦0⇔a-1≦x≦a+1[積分範囲は不等式]
したがって囲まれた領域の面積は
∫[a-1->a+1]{2ax+(1-a^2)-x^2}
=-x^3/3+ax^2+(1-a^2)x|[a-1->a+1]
=-{(a+1)^3-(a-1)^3}/3+a{(a+1)^2-(a-1)^2}+(1-a^2){(a+1)-(a-1)}
=(-2a^2-2/3)+4a^2+2(1-a^2)
=4/3.
***
いわゆる1/6公式[入試で使うときは少なくともこの関係が成り立つことを言及すべきでしょう.]
∫[a-1->a+1]{2ax+(1-a^2)-x^2}={(a+1)-(a-1)}^3/6=4/3.
は検算に有用です.

LUX SIT

"放物線y=x^2と上の接線の方程式が囲まれるためには"を
"放物線y=x^2と上の接線の方程式によって囲まれた領域が存在するためには"に読みかえてください.

dividual

ありがとうございます！

dividual

すみません。理解しました。
ありがとうございます！