Question

たるちゃん

さっぱりです。。わかりやすく教えてもらえると嬉しいです！

ベクトルと軌跡

Answer 1

HIROBA〜

まず、最初の変形は、APとBPとCPがある式を
BP=BA+AP
CP=CA+AP
として、BPとCPを消去しているのはわかりますか？

そして、ABとACの内積が0であることを利用しながら式変形して、
「整理すると」の式が出てきます

HIROBA〜

次は、平方完成の要領で式変形しています
ここでは、この軌跡は多分円だろうという仮定があると思います
円の中心を求めるのに平方完成を使うのと、同じ要領です

で、最後ですが、Mが唐突に出てきますが、
要は
2/3(AB+AC)
が中心になるということです
この位置は重心なので、これをGとかに置いて
AP-AGの二乗或いは内積が、AGの二乗或いは内積に等しいという式から、
円のベクトル表現と結びつけているわけです

たるちゃん

突然Mが出てくるときの式、ベクトルAB+ベクトルAC=2ベクトルAMというのはどういう意味ですか？

HIROBA〜

MをBCの中点とするので、
AM=1/2(AB+AC)
が成り立ちます。
両辺を2倍すると、あなたが書いた式になります。