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(1)は交代式で、(2)は対称式であることに気付きましょう
明らかに中学生の範囲を超えてますが、説明します
(1)3変数交代式は必ず、差積(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持ちます
なので、
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
= (a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)
と表せます
ただし、g(a,b,c)はa,b,cの多項式です
両辺の次数を比べます
左辺は3次で、(a-b)(b-c)(c-a)も3次なのでgは0次、つまり定数です
(a-b)(b-c)(c-a)を展開すると
-(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b))となります
なので、g=-1です
よって、答えは-(a-b)(b-c)(c-a)です
(2)3変数対称式なので、3変数基本対称式
s=a+b+c
t=ab+bc+ac
u=abc
のみで表せます
なので、(a+b)(b+c)(c+a)を基本対称式で表します
これは、3次式なので、ある定数k,l,mが存在して
(a+b)(b+c)(c+a)=ks^3+lst+mu^3
と書けるはずです
①a=1,b=-1,c=1のとき(s=1,t=-1,u=-1)
0=k-l-m
②a=0,b=0,c=1のとき(s=1,t=0,u=0)
0=k
③a=0,b=1,c=1のとき(s=2,t=1,u=0)
2=2k+2l
よって、①②③からk=0,l=1,m=-1
なので
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
つまり
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)
です
