回答

この場合withは付帯状況(携帯)を表すwithでイメージとしては私に傘がついてくる、役割は「私が」持っていくというのを確実に表してるんだと思います。また、take 物 with 人 という形で覚えてしまってもいいかとは思います。

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日本語ではわざわざ言い足しませんが、この場合は
「傘を持ってく」だと傘だけみたいになっちゃうから、私も一緒だよ〜という意味だと思います。
なくてもいい気はしますがね。

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